Брусок располагается на гладкой очень длинной наклонной поверхности и удерживается на месте. Угол наклона поверхности к горизонту о = 15°. Масса бруска т = 1 кг. В момент времени…
Брусок располагается на гладкой очень длинной наклонной поверхности и удерживается на месте. Угол наклона поверхности к горизонту о = 15°. Масса бруска т = 1 кг. В момент времени t = 0 с брусок отпускают и при этом к нему прикладывают силу, которая направлена вверх параллельно наклонной плоскости. Зависимость модуля силы от времени описывается формулой F = Bt, где = 0.4 H/с. Ускорение свободного падения примите равным д = 10 м/с2. В какой момент времени брусок остановится
Решение (шаг за шагом)
Дано:
- угол наклона θ = 15°, sin θ ≈ sin 15° = (√6 − √2)/4 ≈ 0.2588
- масса m = 1 кг
- сила F(t) направлена вверх по наклону: F(t) = B t, где B = 0.4 N/s
- g = 10 м/с²
- поверхность гладкая (без трения)
- начальная скорость v(0) = 0
- Приведём баланс вдоль наклонной плоскости. Направление вдоль наклона вверх положим за положительное. Компонента силы тяжести вдоль наклона направлена вниз и равна m g sin θ, значит вдоль наклона она имеет знак минус: − m g sin θ. Сила, приложенная вверх, F(t) = B t.
Суммарная сила вдоль наклона: F_net(t) = F(t) − m g sin θ = B t − m g sin θ.
Ускорение по побочной оси: a(t) = F_net(t) / m = (B t)/m − g sin θ.
Так как m = 1 кг, получаем: a(t) = B t − g sin θ.
- Заведём начальные условия и найдём скорость. v(0) = 0.
Интегрируем ускорение: v(t) = ∫_0^t a(τ) dτ = ∫_0^t (B τ − g sin θ) dτ = (B/2) t² − (g sin θ) t.
- В момент остановки скорость обращается в ноль: v(t_stop) = 0 (t > 0). 0 = (B/2) t_stop² − (g sin θ) t_stop t_stop [ (B/2) t_stop − g sin θ ] = 0.
Не нулевое решение: t_stop = (2 g sin θ) / B.
- Подставим числа. sin θ ≈ 0.258819, g = 10, B = 0.4, m = 1.
t_stop = 2 g sin θ / B = 2 × 10 × 0.258819 / 0.4 = 5.17638 / 0.4 ≈ 12.94 s.
Итак, брусок остановится примерно через 12.9 секунд.
Дополнительная заметка (для понимания процесса):
- Время мгновенного равновесия ускорения: t_zero = m g sin θ / B ≈ 2.588 / 0.4 ≈ 6.47 s. До t ≈ 6.5 s ускорение вниз, скорость уменьшается с нуля до отрицательной. После t > 6.5 s ускорение вверх, скорость увеличивается в положительную сторону и к ~12.9 с скорость становится нулевой снова (это момент остановки).
