Брусок располагается на гладкой очень длинной поверхности и удерживается на месте. Угол наклона поверхности к горизонту 40 градусов. Масса бруска 3 кг. В момент времени t=0 с…

Задача на движение бруска по гладкой наклонной плоскости с приложенной во время движения силой, пропорциональной времени F(t) = B t.

Данные:

• угол наклона θ = 40°
• масса m = 3 кг
• сила F(t) = B t, B = 0.2 Н/с
• g = 10 м/с²
• гладкая поверхность (без трения)

1. Направление движения и выражения ускорения

• Пусть ось вдоль наклонной плоскости направлена вниз по склону.
• Гравитационная составляющая по плоскости: m g sin θ вниз по склону.
• Приложенная внешняя сила направлена вверх по плоскости и имеет величину F(t) = B t.
• Тогда результирующая сила вдоль плоскости: F_net(t) = m g sin θ − F(t).
• Ускорение по плоскости: a(t) = F_net(t) / m = g sin θ − F(t)/m = g sin θ − (B/m) t.

Числа:

• sin 40° ≈ 0.6428
• g sin θ = 10 × 0.6428 ≈ 6.428 м/с²
• m g sin θ = 3 × 6.428 ≈ 19.284 Н
• B/m = 0.2 / 3 ≈ 0.0667 с⁻¹

2. Скорость и перемещение Начальная скорость v(0) = 0.

Интегрируем:

• v(t) = ∫ a(t) dt = ∫ [g sin θ − (B/m) t] dt v(t) = (g sin θ) t − (B/(2m)) t².
• Положение along плоскость: s(t) = ∫ v(t) dt = (1/2)(g sin θ) t² − (B/(6m)) t³ (при условии s(0) = 0).

3. Момент, когда ускорение становится равным нулю Ускорение равно нулю при: a(t) = g sin θ − (B/m) t = 0 → t1 = (m g sin θ) / B.

Число: t1 = (3 × 10 × 0.6428) / 0.2 = 19.2836 / 0.2 ≈ 96.4 с.

Ответ: ускорение станет равным нулю примерно через 96.4 с после начала отсчета.

4. Момент остановки бруска и ускорение в этот момент Бруск движется вниз до t1, затем ускорение становится отрицательным (направлено вверх). Скорость становится нулевой снова в момент t2, когда v(t2) = 0:

v(t) = (g sin θ) t − (B/(2m)) t² = t [g sin θ − (B/(2m)) t] = 0.

Не нулевой корень: t2 = 2 m g sin θ / B.

Число: t2 = 2 × 3 × 10 × 0.6428 / 0.2 = (60 × 0.6428) / 0.2 ≈ 38.568 / 0.2 ≈ 192.8 с.

Ответ: брусок остановится примерно через 192.8 с.

Ускорение в момент остановки: a(t2) = g sin θ − (B/m) t2 = g sin θ − (B/m) × (2 m g sin θ / B) = g sin θ − 2 g sin θ = − g sin θ.

Число: a(t2) ≈ −6.428 м/с² (направлено вверх по наклонной).

Дополнительная справка (для полноты картины движения):

• Временная зависимость скорости: v(t) = (g sin θ) t − (B/(2m)) t².
• Время до нулевой скорости после старта (t2) больше времени до нуля ускорения (t1). До t1 бруск ускоряется вниз, после t1 — ускорение вверх, скорость уменьшается до нуля в момент t2 и затем меняется направление движения.

Итак:

• Как будет двигаться сразу после отпуска? Движение вниз по наклонной с ускорением a(0) = g sin θ ≈ 6.43 м/с².
• Когда ускорение станет нулём? Примерно через 96.4 с.
• Когда брусок остановится? Примерно через 192.8 с.
• Каково ускорение в момент остановки? Примерно −6.43 м/с² (направлено вверх по наклонной).