У параллелограмма ABCD, AC = BD, O - точка пересечения его диагоналей, угл CAD = 36 градусам. Найдите сумму углов AOB, BDA, ACD.

Решение по шагам. 1) Приведём к удобному виду. Дано: параллелограмм ABCD и AC = BD. В параллелограмме диагонали равны тогда, когда углы при сторонах равны 90°. То есть ABCD — прямоугольник. Поэтому ∠A = ∠D = 90° и можно взять координатную систему так: A(0,0), B(a,0), D(0,b), C(a,b). О — середина диагоналей, O(а/2, b/2). 2) Выразим угол CAD через стороны прямоугольника. Векторы: - CA направлен из A к C: CA = (a, b). - AD направлен из A к D: AD = (0, b). Косинус угла CAD равен cos CAD = (CA · AD) / (|CA| |AD|) = (a·0 + b·b) / (√(a^2 + b^2) · b) = b / √(a^2 + b^2). По условию CAD = 36°, поэтому cos 36° = b / √(a^2 + b^2). (1) Из (1) следует отношение a^2 = b^2 tan^2 36°. 3) Найдём углы AOB, BDA, ACD поэтапно. - Угол AOB (верт.O между OA и OB). Вектор OA = A − O = (−a/2, −b/2), OB = B − O = (a/2, −b/2). cos ∠AOB = (OA · OB) / (|OA||OB|) = ( (−a/2)(a/2) + (−b/2)(−b/2) ) / ( (1/2)√(a^2+b^2) · (1/2)√(a^2+b^2) ) = (−a^2 + b^2) / (a^2 + b^2) = (b^2 − a^2)/(a^2 + b^2). С учётом a^2 = b^2 tan^2 36° получаем cos ∠AOB = (1 − tan^2 36°)/(1 + tan^2 36°) = cos 72°. Значит ∠AOB = 72°. - Угол BDA (вершина D, между DB и DA). DB = B − D = (a, −b), DA = A − D = (0, −b). cos ∠BDA = (DB · DA) / (|DB||DA|) = (a·0 + (−b)(−b)) / (√(a^2+b^2) · b) = b / √(a^2 + b^2) = cos CAD. Значит ∠BDA = CAD = 36°. - Угол ACD (вершина C, между CA и CD). CA = A − C = (−a, −b), CD = D − C = (−a, 0). cos ∠ACD = (CA · CD) / (|CA||CD|) = ((−a)(−a) + (−b)·0) / (√(a^2+b^2) · a) = a / √(a^2 + b^2) = sin 36°. Тогда ∠ACD = arccos(sin 36°) = 54°. 4) Сумма углов. ∠AOB + ∠BDA + ∠ACD = 72° + 36° + 54° = 162°. Ответ: 162°.