Из пункта М в пункт К через интервалы времени 10 мин выезжает по одному автобусу. Расстояние между пунктами М и К равно 60 км. Скорость каждого автобуса 60 км/ч. Постройте график…

Краткая постановка задачи

• Расстояние между М (начало) и К (конец) = 60 км.
• Бусы выезжают из М в К с интервалом 10 мин; скорость каждого автобуса v_b = 60 км/ч = 1 км/мин.
• Автомобиль выезжает из К в М одновременно с одним из автобусов (то есть в момент t_k по расписанию выезд автомобиля совпадает с выездом какого‑то из автобусов из М). Скорость автомобиля v_c = 60 км/ч = 1 км/мин.
• Требуется построить график координаты от времени для каждого автобуса и определить, сколько автобусов встретит автомобиль на пути.

Установки и обозначения

• Пусть время считать в минутах. Пусть координата x измеряется в км, где x=0 соответствует пункту М, а x=60 — пункту К.
• Бусы выезжают из М каждые 10 минут: t_n = 10n, где n = 0,1,2,…
• Бус на индексе n движется от М к К со скоростью 1 км/мин в интервале времени t ∈ [t_n, t_n + 60]. До выезда он в точке x=0 (М); после прибытия в К фиксируется в x=60.
• Автомобиль выезжает из К в момент t_k (одновременно с выездом буса с индексом k) и движется к М со скоростью 1 км/мин в интервале времени t ∈ [t_k, t_k + 60]. До выезда он в x=60; после прибытия в М фиксируется в x=0.

1. Графики движения каждого автобуса Для автобуса n:

• x_n(t) = 0, если t < t_n;
• x_n(t) = t − t_n, если t ∈ [t_n, t_n + 60];
• x_n(t) = 60, если t > t_n + 60.

Это прямая с наклоном 1 км/минута, которая начинается в точке M (x=0) в момент t_n и достигает К (x=60) через 60 минут, затем остается в x=60.

График движения автомобиля (для фиксированного k):

• x_c(t) = 60, если t < t_k;
• x_c(t) = 60 − (t − t_k), если t ∈ [t_k, t_k + 60];
• x_c(t) = 0, если t > t_k + 60.

Это прямая с наклоном −1 километра в минуту, начиная с x=60 в момент t_k и до x=0 через 60 минут, затем остается в x=0.

2. Встречи автобус–автомобиль: как найти время встречи Ищем время t, когда автобус n встречается с автомобилем:

• x_n(t) = x_c(t).

Пусть t_n = 10n и t_k = 10k. Подставим:

• для t ∈ пересечениях: t − t_n = 60 − (t − t_k) (поскольку обе скорости единицы)
• отсюда 2t = 60 + t_n + t_k, значит t = (60 + t_n + t_k)/2.

Условия существования встречи (на дороге, а не на концах):

• обе части должны быть в пути: t ∈ [t_n, t_n + 60] и t ∈ [t_k, t_k + 60].
• Это эквивалентно |t_n − t_k| ≤ 60 и, точнее, после подстановки даёт условие |t_n − t_k| ≤ 60, что в минутах эквивалентно |n − k| ≤ 6.
• Дополнительно нужно исключить случаи, когда встреча происходит именно на концах дороги:
  • если n = k + 6, встреча приходится в момент t = t_n (автобус только что выехал из М, автомобиль в момент выезда находится в К): встреча на уровне М, на дороге нет.
  • если n = k − 6, встреча приходится в момент t = t_k (автомобиль только что выехал из К, автобус прибывает в К): встреча на уровне К, на дороге нет.
• Таким образом «корректные» встречи на дороге соответствуют |n − k| ≤ 6, за исключением крайних случаев n = k ± 6.

Итого число встреч на дороге равно числу индексов n, удовлетворяющих:

• k − 5 ≤ n ≤ k + 5 (то есть 11 значений n).

3. Число встреч

• При достаточно длинной цепочке автобусов (много автобусов в расписании), автомобиль встретит 11 автобусов на пути (все n от k−5 до k+5), если считать только встречи на дороге.
• Если же учитывать крайние случаи n = k−6 и n = k+6 как встречи на концах (на керосине М или К), получится 13 встреч, но такие встречи происходят именно на концах, а не «на пути» по дороге. Обычно их исключают.

Ответ

• При условии, что речь идёт о встречах на дороге (исключая встречи в точках М и К), пассажир, выезжающий из К в М одновременно с одним из автобусов и движущийся со скоростью 60 км/ч, встретит 11 автобусов на пути.

Дополнительно: как это представить графически

• График для каждого автобуса n: прямая x = t − t_n с уклоном 1 на интервале t ∈ [t_n, t_n+60], плюс горизонтальные участки x=0 до t_n и x=60 после t_n+60.
• График автомобиля: прямая x = 60 − (t − t_k) на интервале t ∈ [t_k, t_k+60], плюс x=60 до t_k и x=0 после t_k+60.
• Точка пересечения графиков для пары (n, k) даёт время встречи t = (60 + t_n + t_k)/2; из условия пересечения на дороге следует |n − k| ≤ 5 (для строгой встречи на дороге). В общем случае для наглядности можно взять конкретное k и построить 11 линий пересечения.

Если хотите, могу привести конкретный пример с числовыми значениями (например, выбрать k = 10 и посчитать конкретные времена встреч и координаты в этих случаях), либо помочь нарисовать график пошагово.