Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если высота , проведенная к ней, равна 4 см, а один из углов треугольника равен 75°
Задача: найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если высота, проведенная к гипотенузе, равна 4 см, а один острый угол равен 75°.
Пояснение и решение пошагово:
Обозначим треугольник ABC с прямым углом в C. Гипотенуза AB будет обозначаться как c. Пусть угол A = 75°, угол B тогда = 15°.
Обозначим стороны:
- a = BC — сторона напротив угла A (прямой же стороной является один из катетов),
- b = AC — сторона напротив угла B.
Связь сторон с гипотенузой через синусы: a = c·sin(A) = c·sin75°, b = c·sin(B) = c·sin15°.
Высота h, опущенная из вершины C к гипотенузе AB, в прямоугольном треугольнике равна: h = (a·b)/c.
Подставим a и b: h = (c·sin75° · c·sin15°) / c = c · sin75° · sin15°.
Вычислим sin75°·sin15°: Используем тождество sin x · sin y = (1/2)[cos(x−y) − cos(x+y)]: sin75° · sin15° = (1/2)[cos(60°) − cos(90°)] = (1/2)[1/2 − 0] = 1/4.
Получаем зависимость: h = c · (1/4) ⇒ c = 4h.
Подставим данное h = 4 см: c = 4 · 4 = 16 см.
Ответ: гипотенуза равна 16 см.
Кратко проверка: sin75°·sin15° = 1/4, значит h = c/4. При h = 4 см получается c = 16 см, что согласуется с формулой.
