Брусок располагается на гладкой очень длинной наклонной поверхности и удерживается на месте. Угол наклона поверхности к горизонту равен 50 градусам. Масса бруска 2 кг. В момент…
Брусок располагается на гладкой очень длинной наклонной поверхности и удерживается на месте. Угол наклона поверхности к горизонту равен 50 градусам. Масса бруска 2 кг. В момент времени 0 с брусок отпускают и при этом к нему прикладывают силу, которая направлена вверх параллельно наклонной плоскости. Зависимость модуля силы от времени описывается формулой F=Bt, где B=0,5 Н/с. Ускорение свободного падения примите равным 10м/с^2. В какой момент времени брусок остановится
Решение задачи по шагам.
Дано:
- наклон углом θ = 50° к горизонту, гладкая поверхность (м/frictionless);
- масса бруска m = 2 кг;
- сила, направленная вверх вдоль наклонной плоскости: F(t) = B t, где B = 0.5 Н/с;
- g = 10 м/с²;
- при t = 0 брусок отпускают с покоя.
Выровняем систему по оси, взятой вдоль наклонной поверхности вверх по направлению движения вверх по наклону. Тогда сила тяжести вдоль плоскости направлена вниз и равна m g sinθ.
Уравнение движения вдоль наклонной: m a(t) = F(t) − m g sinθ => a(t) = F(t)/m − g sinθ.
Подставим данные: F(t) = B t, m = 2 кг, B/m = 0.5/2 = 0.25, g sinθ = 10 · sin(50°) ≈ 10 · 0.7660 ≈ 7.660 м/с².
Значит a(t) = 0.25 t − 7.660 (м/с²).
Интегрируем для скорости. При t = 0 v(0) = 0. v(t) = ∫ a(t) dt = ∫ (0.25 t − 7.660) dt = 0.125 t² − 7.660 t + C. C = v(0) = 0, поэтому v(t) = 0.125 t² − 7.660 t.
Условие остановки: скорость становится равной нулю повторно при t > 0. 0.125 t² − 7.660 t = 0 t (0.125 t − 7.660) = 0 → t = 0 или t = 7.660 / 0.125 ≈ 61.28 s.
Ответ: брусок остановится через примерно 61.3 секунды (после начала движения).
Дополнительно: до t ≈ 30.6 s ускорение отрицательное (брусок движется вниз по наклонной), после этого становится положительным, и к моменту t ≈ 61.3 s скорость снова обращается в ноль, после чего начнёт двигаться вверх.
