Хорда нижнего основания цилиндра отсекает от окружности основания дугу в 120°. Отрезок, соединяющий поверхность цилиндра, полученного при вращении, серединой данной хорды, равен…

Решение по шагам

Даны: цилиндр радиуса R и высоты h. Хорда нижнего основания цилиндра обозначим как хорду с центральным углом 120°. Также дан отрезок, соединяющий середину этой хорды с поверхностью цилиндра, образующий угол 45° с плоскостью основания и имеющий длину 4√2 см.

1. Хорда основания и её расстояние от центра

• Центральный угол хорды равен 120°. Тогда длина хорды: c = 2R sin(120°/2) = 2R sin(60°) = 2R · (√3/2) = R√3.
• Расстояние от центра основания до хорды равно R cos(60°) = R/2. То есть середина хорды лежит на расстоянии R/2 от оси цилиндра в плоскости основания.

2. Геометрия искомого отрезка в профильной плоскости Рассмотрим плоскость, содержащую ось цилиндра и середину хорды (профильная плоскость). В этой плоскости цилиндр проецируется как прямоугольник шириной 2R и высотой h (это осевое сечение цилиндра).

Середина хорды находится на расстоянии R/2 от оси внизу (z = 0). Латеральная поверхность цилиндра в этой плоскости находится на расстоянии R от оси, то есть горизонтальный перемещающийся путь от середины хорды до поверхности по этой плоскости равен Δx = R − R/2 = R/2.

Пусть искомый отрезок тянется к верхнему краю цилиндра по той же плоскости (до точки на верхней границе цилиндра на поверхности). Тогда его вертикальная составляющая равна высоте h, а горизонтальная — R/2. Угол между отрезком и плоскостью основания равен 45°, значит tan(45°) = 1 = вертикальная составляющая / горизонтальная составляющая, т.е. h = R/2.

3. Длина отрезка Длина отрезка дана как 4√2. Его длина в этой конфигурации: L = sqrt( (Δx)^2 + (Δz)^2 ) = sqrt( (R/2)^2 + h^2 ). Так как h = R/2, получаем: L = sqrt( (R/2)^2 + (R/2)^2 ) = sqrt( 2·(R/2)^2 ) = R/√2 = (R√2)/2.

Уравнивая с данными L = 4√2: (R√2)/2 = 4√2 => R/2 = 4 => R = 8 см.

4. Высота цилиндра Из условия h = R/2 получаем: h = 8/2 = 4 см.

5. Площадь осевого сечения Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами 2R и h. Ее площадь: S_ось = 2R · h = 2 · 8 · 4 = 64 см².

Ответ: площадь осевого сечения цилиндра равна 64 см².