Теплообмен со средой (10 баллов) Теплоизолированный калориметр с теплоёмкостью С = 35,0 Дж/°С находится в тепловом равновесии с налитой в него водой массой m, = 300 г при…

Ниже подробное решение задач 10–12. Я беру параметры как задано: теплоизолированный калориметр с C = 35 Дж/°C, вода mW = 300 г, th = 50°C, лёд md = 100 г при t = 0°C, удельная теплоёмкость воды cW = 4,2 кДж/(кг·°C), тепло плавления льда Lf = 330 кДж/кг.

1. Задача 10. Найдите массу растаявшего льда.

• Шаг 1. Проверяем, хватит ли теплоты, чтобы растопить весь лёд.

  • Теплота, которая может отдать систему до 0°C: Q_avail = (mW cW + C) (50 - 0) = (0,300×4,2×10^3 + 35)×50 Дж = (1260 + 35) × 50 = 1295 × 50 = 64 750 Дж = 64,75 кДж.
  • Энергия плавления всего льда массой md: Q_melt_all = md × Lf = 0,100 × 330 000 = 33 000 Дж = 33,0 кДж.
  • Так как Q_avail > Q_melt_all, весь лёд растает.

• Шаг 2. Найдём температуру Tf после того, как весь лёд растаял. Пусть весь лёд растаял и образовавшаяся вода массой mW + md = 0,300 + 0,100 = 0,400 кг нагревается с 0°C до Tf, а тепло от теплоносителя уходит на:

  • плавление льда: md Lf
  • нагрев полученной воды: md cW Tf

  Уравнение баланса энергии: (mW cW + C) (50 − Tf) = md Lf + md cW (Tf − 0)

  Подстановка: 1295 (50 − Tf) = 0,100×330 000 + 0,100×4 200 × Tf 1295(50 − Tf) = 33 000 + 420 Tf

  Раскрываем: 64 750 − 1295 Tf = 33 000 + 420 Tf 64 750 − 33 000 = 1715 Tf 31 750 = 1715 Tf Tf ≈ 31 750 / 1715 ≈ 18,5°C (точнее 18,513°C)

• Ответ задачи 10: масса растаявшего льда md = 100 г.

2. Задача 11. С помощью встроенного нагревателя к содержимому калориметра подводят Q = 20 кДж. Определите температуру калориметра T01 после установления равновесия. (Ответ в °C, округлить до десятых)

• Шаг 1. После полного таяния лёд, общая масса воды в калориметре: m_total = mW + md = 0,300 + 0,100 = 0,400 кг. Её теплоёмкость: Cw_total = m_total × cW = 0,400 × 4 200 = 1680 Дж/°C. Общая теплоёмкость системы (включая стенку калориметра): C_total = C + Cw_total = 35 + 1680 = 1715 Дж/°C.

• Шаг 2. В начальный момент после установления равновесия температура T01 равна Tf из задачи 10, то есть T01 ≈ 18,513°C.

• Шаг 3. При подводе тепла Q = 20 000 Дж температура повышается на ΔT, где: ΔT = Q / C_total = 20 000 / 1715 ≈ 11,66°C.

• Шаг 4. Новая температура: T01_final = T01 + ΔT ≈ 18,513 + 11,66 ≈ 30,17°C → округляем до десятых: 30,2°C.

• Ответ задачи 11: 30,2°C.

3. Задача 12. Теплоизоляция нарушается, мощность теплообмена P между калориметром и окруж. средой определяется P = K − |T01 − tокр|, где tокр = 0°C, K = 85 Дж/(мин·°C). Определите температуру калориметра T02 спустя время Δt = 2 мин после нарушения теплоизоляции. (Ответ в °C, округлить до десятых)

• Допущения и параметры на момент начала задачи 12: После задачи 11 система имеет температуру T01 ≈ 30,2°C и общую теплоёмкость C_total = 1715 Дж/°C (как выше). Окружающая среда при Tокр = 0°C.

• Формула мощности теплообмена: P(T) = K − |T − Tокр|. Так как T01 > 0, T > 0, следовательно |T − 0| = T. Тогда P(T) = K − T.

  Модель обмена энергией: скорость изменения энергии системы dQ/dt = −P(T) = −(K − T). Так как Q и T связаны через теплоёмкость: dQ/dt = C_total dT/dt. Следовательно: C_total dT/dt = −(K − T) = T − K или dT/dt = (T − K) / C_total.

• Решение дифференциального уравнения (для T > 0, что выполняется): Обозначим T∞ = K = 85°C. Решение имеет вид: T(t) = K + (T0 − K) e^{t / C_total}, где T0 = T01 = 30,2°C и C_total = 1715 Дж/°C.

• Подстановка на t = Δt = 2 мин: T02 = 85 + (30,2 − 85) e^{2 / 1715} = 85 − 54,8 · e^{0,001168}.

  e^{0,001168} ≈ 1,001168; 54,8 × 1,001168 ≈ 54,864. T02 ≈ 85 − 54,864 ≈ 30,136°C.

  Округляем до десятых: T02 ≈ 30,1°C.

• Ответ задачи 12: 30,1°C.

Итоговые результаты:

• 10. Масса растаявшего льда = 100 г.
• 11. Температура калориметра после подведения 20 кДж: T01 ≈ 30,2°C.
• 12. Температура калориметра через 2 мин после нарушения теплоизоляции: T02 ≈ 30,1°C.