объясни 1,(3)=4/3

Задача: объяснить, почему 1,(3) = 4/3.

Что означает 1,(3)

• Запись 1,(3) в математике означает десятичную дробь 1.3333... с периодической частью 3. То есть 1.\overline{3}.

Два способа показать эквивалентность 1.(3) = 4/3

Способ 1: через разложение на целую и повторяющуюся дробь

• Пусть x = 1.\overline{3} = 1.3333...
• Разложим: x = 1 + 0.\overline{3}
• Найдем 0.\overline{3}. Пусть y = 0.\overline{3}. Тогда 10y = 3.\overline{3} = 3 + 0.\overline{3} = 3 + y. Отсюда 10y = 3 + y ⇒ 9y = 3 ⇒ y = 3/9 = 1/3.
• Значит x = 1 + y = 1 + 1/3 = 4/3.

Способ 2: алгебраический (множим на 10, чтобы сдвинуть период)

• Пусть x = 1.\overline{3}.
• Умножим на 10: 10x = 13.\overline{3}.
• Вычтем исходное уравнение: 10x − x = 13.\overline{3} − 1.\overline{3} ⇒ 9x = 12.
• Отсюда x = 12/9 = 4/3.

Проверка

• 4/3 в десятичной форме: 1.3333... действительно бесконечно повторяется цифра 3, т. е. 1.\overline{3}. Значит 1.\overline{3} = 4/3.

Итог

• 1,(3) = 1.\overline{3} = 4/3.