z1=5-3i z2=4-i

Ниже подробное решение по наиболее распространённым операциям с двумя комплексными числами z1 = 5 − 3i и z2 = 4 − i. Это подходит для среднего школьного уровня и даёт понятные шаги.

1. Сложение z1 + z2

• z1 + z2 = (5 − 3i) + (4 − i) = (5 + 4) + (−3i − i) = 9 − 4i

2. Вычитание z1 − z2

• z1 − z2 = (5 − 3i) − (4 − i) = (5 − 4) + (−3i − (−i)) = 1 + (−3i + i) = 1 − 2i

3. Умножение z1 · z2

• z1 · z2 = (5 − 3i)(4 − i) = 5·4 + 5·(−i) + (−3i)·4 + (−3i)(−i) = 20 − 5i − 12i + 3i^2 = 20 − 17i + 3(−1) = 20 − 17i − 3 = 17 − 17i
• Можно отметить: z1 · z2 = 17(1 − i)

4. Деление z1 ÷ z2

• z1 / z2 = (5 − 3i) / (4 − i)
• Приведём к действительной форме: умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю (4 + i) (5 − 3i)(4 + i) / (4 − i)(4 + i)
• Числитель: (5 − 3i)(4 + i) = 5·4 + 5·i − 3i·4 − 3i·i = 20 + 5i − 12i − 3i^2 = 20 − 7i − 3(−1) = 20 − 7i + 3 = 23 − 7i
• Знаменатель: (4 − i)(4 + i) = 4^2 − i^2 = 16 − (−1) = 17
• Итого: z1 / z2 = (23/17) − (7/17)i

5. Модуль (модуль) z1 и z2

• |z1| = sqrt(5^2 + (−3)^2) = sqrt(25 + 9) = sqrt(34) ≈ 5.831
• |z2| = sqrt(4^2 + (−1)^2) = sqrt(16 + 1) = sqrt(17) ≈ 4.123

6. Аргументы (углы) z1 и z2

• z1 = 5 − 3i расположен в четвертой четви (квадрант IV), угол равен arctan(Im/Re) = arctan(−3/5). arg(z1) = −arctan(3/5) ≈ −0.5404 рад ≈ −30.96°
• z2 = 4 − i также в четвертой четверти, угол arg(z2) = arctan(−1/4) = −arctan(1/4) ≈ −0.2450 рад ≈ −14.04°

7. Краткое резюме в тригонометрической форме (по желанию)

• z1 = sqrt(34) · (cos(−0.5404) + i sin(−0.5404))
• z2 = sqrt(17) · (cos(−0.2450) + i sin(−0.2450))
• Произведение z1 · z2 имеет модуль sqrt(34)·sqrt(17) = sqrt(578) и аргумент сумм аргументов: −0.5404 + (−0.2450) = −0.7854 рад (≈ −45°). Это согласуется с результатом 17 − 17i.

Если вам нужна другая операция (например, найти конъюгат, записать в абсолютной/польской форме, проверить конкретное свойство, решить задачи по модулю и аргументу отдельно), скажите — добавлю дополнительные шаги.