В прямоугольнике ABC диагонали пересекаются в точке O. Найдите периметр треугольника AOB, если угол CAB=30° , AC=10,5 см.

Задача по геометрии для восьмого класса. Дано: прямоугольник ABCD, диагонали пересекаются в O. Угол CAB = 30°, AC = 10,5 см. Нужно найти периметр треугольника AOB.

Пояснение к решению:

• В прямоугольнике diagonals пересекаются в его центре O и делят диагонали пополам, поэтому AO = BO = CO = DO = AC/2 = 10,5/2 = 5,25 см.
• В треугольнике ABC, который является половиной прямоугольника, угол A равен углу CAB = 30°. Гипотенуза этого треугольника — диагональ AC = 10,5 см, прилежащая к углу A сторона AB, следовательно cos(30°) = AB / AC. Отсюда AB = AC * cos(30°) = 10,5 * (√3/2) = 21√3/4 см ≈ 9,09 см.
• Периметр треугольника AOB равен сумме его сторон: AO + OB + AB. Так как AO = OB = AC/2, получаем P = AC/2 + AC/2 + AB = AC + AB. Подставим числовые значения: P = 10,5 + 21√3/4 ≈ 10,5 + 9,09 ≈ 19,59 см.

Итого:

• Точное выражение периметра: P = AC + AB = 10,5 + 21√3/4 см.
• Приближенно: P ≈ 19,59 см.