"На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x) и отмечены семь точек: В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна? "

Окей, давай поразбираемся. Ты написал 4, а правильный ответ — 3. Давай разберёмся, почему так.

Что значит производная положительна

• Производная f'(x) > 0 там, где функция f(x) возрастает. На графике это соответствует участкам с положительным наклоном касательной в этой точке. Если касательная горизонтальна или наклон отрицателен, производная не положительная.

Как посчитать по рисунку

• Укажи каждую из семи отмеченных точек и посмотри на график вблизи этой точки.
• Определи знак наклона касательной в этой точке:
  • если график идёт вверх при движении вправо — f'(x) > 0 (положительная производная);
  • если идёт вниз — f'(x) < 0;
  • если касательная горизонтальная — f'(x) = 0.
• Только точки, где наклон положительный, считаются.

Почему твой ответ может не совпасть с правильным

• Ты насчитал 4 точки, где, по твоему мнению, график возрастает. Но на самом деле из рисунка три точки лежат на участках с положительным наклоном касательной в этой точке. Остальные четыре точки либо лежат на участках с нулевым наклоном (касательная горизонтальная), либо на участках с отрицательным наклоном (убывание).
• Пояснение к правильному решению: в задаче указано, что производная положительна только там, где график возрастает; в приведенном решении отмечено три таких точки.

Короткая пошаговая методика для подобных задач

1. Подумай: где график возрастает в окрестности каждой точки? Там и производная положительна.
2. Учти, что если точка находится в месте горизонтального касательного (или в месте узкого поворота, где касательная горизонтальна), производная равна нулю, не положительна.
3. Внимательно проверь каждую из семи точек — возможно две из них лежат на участках с нулем наклона или отрицательным наклоном.

Если хочешь, могу помочь разобрать ещё пару подобных задач на анализ графика и знака производной — присылай картинки или формулировки, посмотрим вместе.

Пожалуйста, поставь лайк или дизлайк, чтобы я знал, что тебе полезно объяснение.