В кубе  A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA 1 ​ B 1 ​ C 1 ​ D 1 ​  точки  K K,  M M и  N N — середины рёбер  B 1 C 1 B 1 ​ C 1 ​ ,  D 1 C 1 D 1 ​ C 1 ​  и  C D CD соответственно. Диагонали квадрата  A B C D ABCD пересекаются в точке  O O. Определи взаимное положение указанных прямых, исходя из этого условия. Выбери верный вариант из списка. Прямые  B D BD и  K M KM . Прямые  B N BN и  A D AD . Прямые  C C 1 CC 1 ​  и  K M KM . Прямые  O N ON и  A 1 D 1 A 1 ​ D 1 ​  . Прямые  B D BD и  M N MN .

Давайте зададим куб так, чтобы было удобно считать. - Пусть основание ABCD — квадрат в плоскости z = 0: A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0). - Верхнее отверстие: A1(0,0,1), B1(1,0,1), C1(1,1,1), D1(0,1,1). Середины рёбер: - K — середина B1C1: K(1, 0.5, 1). - M — середина D1C1: M(0.5, 1, 1). - N — середина CD: N(0.5, 1, 0). ОDiO (центр основания): O(0.5, 0.5, 0). Теперь рассмотрим указанные пары прямых и их взаимное положение. 1) Прямые BD и KM - BD: параметрически BD(t) = (1 − t, t, 0). - KM: KM(s) = K + s(M − K) = (1 − 0.5s, 0.5 + 0.5s, 1). Знаем, что z BD = 0, а z KM = 1 для любого s. Значит точки на этих прямых не совпадут по z, следовательно они не пересекутся. Также они не параллельны (разные плоскости z). Значит они — скрещивающиеся/скрещённые прямые (skew). 2) Прямые BN и AD - BN: BN(t) = B + t(N − B) = (1 − 0.5t, t, 0). - AD: AD(s) = A + s(D − A) = (0, s, 0). Чтобы найти пересечение как бесконечных прямых в плоскости z = 0, приравняем координаты: 1 − 0.5t = 0 → t = 2. Тогда y BN = t = 2, а AD имеет y = s. Значит s = 2. Точка пересечения: (0, 2, 0), которая лежит на обеих прямых (как бесконечных линиях в плане). Следовательно BN и AD пересекаются. 3) Прямые CC1 и KM - CC1: CC1(u) = C + u(C1 − C) = (1, 1, u). - KM(s) как выше: (1 − 0.5s, 0.5 + 0.5s, 1). Чтобы пересечься, должен быть одинаковый z: u = 1. Тогда координаты должны быть (1,1,1). Но для KM при s = 0 получаем (1, 0.5, 1); при любом s координаты x,y не дадут (1,1). Значит пересечения нет. CC1 и KM — скрещивающиеся прямые (skew). 4) Прямые ON и A1D1 - ON(t) = O + t(N − O) = (0.5, 0.5 + 0.5t, 0). - A1D1(s) = A1 + s(D1 − A1) = (0, s, 1). У них различные значения z (0 и 1), пересечения быть не может. Это скрещённые (skew) прямые. 5) Прямые BD и MN - MN(t) = M + t(N − M) = (0.5, 1, 1 − t) (поскольку N − M = (0, 0, −1)). BD(t) = (1 − t, t, 0). Уравняем координаты: z требуют 0 = 1 − t → t = 1. Тогда x = 1 − 1 = 0, а у MN при t = 1 получаем x = 0.5, y = 1. Эти точки не совпадают, значит пересечения нет. BD и MN — skew. Вывод: Единственная пара, которая пересекается, — BN и AD. Ответ: вариант 2 — BN и AD.