Дан куб ABCDA B C D, с ребром 12 /5. Точка Р принадлежит диа- гонали B D так, что В P : PD = 1 : 2, а точка М - середина ребра AD. Найдите длину отрезка РО, где О -- точка…

Задача по геометрии в точках и прямых куба.

Дано: куб со стороной a = 12/5. Пусть вершины на основании заданы так: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0). Точка P лежит на диагонали BD и BP:PD = 1:2. Точка M — середина ребра AD. О — точка пересечения прямых BM и AC. Найдите length(PO).

Решение

1. Координаты ключевых точек

• B = (a, 0, 0), D = (0, a, 0).
• P делит BD по отношению BP:PD = 1:2. По формуле разделения отрезка: P = (2B + D) / 3 = (2a/3, a/3, 0).
• A = (0, 0, 0), D = (0, a, 0) → M — середина AD: M = (0, a/2, 0).
• C = (a, a, 0).

2. О – пересечение BM и AC

• Прямая AC: A + t(C − A) = (t a, t a, 0). Точка на AC имеет координаты (ta, ta, 0).
• Прямая BM: B + u(M − B) = (a − ua, (u a)/2, 0). Координаты (a(1 − u), a u/2, 0).
• На точке пересечения координаты совпадают: ta = a(1 − u) и ta = a u/2. Сократив на a ≠ 0 получаем систему: t = 1 − u и t = u/2.
• Решая: u = 2/3, t = 1/3.
• Значит O лежит на AC при t = 1/3: O = (a/3, a/3, 0).

3. Длина PO

• P = (2a/3, a/3, 0), O = (a/3, a/3, 0).
• Разность координат: P − O = (a/3, 0, 0).
• Длина PO равна a/3.

4. Подстановка значения a

• a = 12/5, значит PO = (12/5)/3 = 4/5.

Ответ: длина отрезка PO равна 4/5. (При необходимости: это равно a/3 для общего куба со стороной a.)