Точка С лежит на отрезке АВ. Через Точку А проведена плоскость, а через Точки В н С параллельные прямые, пересскающие эту плоскость в точках В1 и С1. Найдите длину отрезка СС1…
Точка С лежит на отрезке АВ. Через Точку А проведена плоскость, а через Точки В н С параллельные прямые, пересскающие эту плоскость в точках В1 и С1. Найдите длину отрезка СС1 если АС:СВ=3:2 и ВВ1=20см.
Решение. Задача задана в 3D-геометрии: через A плоскость π проходит; через B и через C проведены параллельные друг другу прямые, которые пересекают плоскость в точках B1 и C1 соответственно. Точка C лежит на отрезке AB, и AC:CB = 3:2. Нужно найти CC1, зная BB1 = 20 см.
- Вводная установка
- Пусть плоскость π совпадает с плоскостью z = 0.
- Пусть A ∈ π, значит A имеет координаты z = 0.
- Пусть B имеет координаты (x, y, h) с h > 0 (точка B над плоскостью).
- Так как C лежит на отрезке AB и AC:CB = 3:2, можно записать C как точку на AB, разделяющую её в отношении 3:2. Тогда в векторной форме C = A + (AC/AB)·(B − A). Так как A находится в начале координат по выбранной системе, и A = 0, получаем C = (3/5) B. Следовательно, z-координата C равна z(C) = (3/5) h.
- Прямые через B и через C, которые являются параллельными между собой, пересекают плоскость π в точках B1 и C1. Пусть направление этих прямых дано вектором v = (p, q, r) с r ≠ 0.
- Координатное представление точек B1 и C1
Прямая через B параллельно v задаётся как B + t_B v. Чтобы она пересекла плоскость z = 0, найдём t_B по условию z(B + t_B v) = 0: z(B) + t_B r = h + t_B r = 0 ⇒ t_B = −h / r. Тогда B1 = B + t_B v.
Аналогично прямая через C пересекает π в C1, и z(C) + t_C r = 0 ⇒ t_C = −z(C)/r = −(3h/5)/r. Тогда C1 = C + t_C v.
- Длины BB1 и CC1
- Длина BB1 равна |t_B| · ||v|| = (h/|r|) · ||v||.
- Длина CC1 равна |t_C| · ||v|| = ((3h/5)/|r|) · ||v||.
- Следовательно отношение длин равно CC1 / BB1 = [(3h/5)/|r| · ||v||] / [(h/|r|) · ||v||] = 3/5.
- Использование данных и ответ
- По условию BB1 = 20 см. Тогда CC1 = (3/5) · 20 = 12 см.
Ответ: CC1 = 12 см.
Комментарий
- Важный момент: между линиями BB1 и CC1 существует одно и то же направление v (они параллельны). Это и обеспечивает пропорциональность расстояний BB1 и CC1 тем же отношением, что и пропорции на отрезке AB: поскольку C делит AB в отношении 3:2, получаем пропорцию 3/5 между соответствующими расстояниями до плоскости.
