Брусок располагается на гладкой очень длинной наклонной поверхности и удерживается на месте. Угол наклона поверхности к горизонту α=30∘. Масса бруска m=1 кг. В момент времени t=0 с брусок отпускают и при этом к нему прикладывают силу, которая направлена вверх параллельно наклонной плоскости. Зависимость модуля силы от времени описывается формулой F=βt, где β=0.1 Н/с. Ускорение свободного падения примите равным g=10 м/с2. В какой момент времени брусок остановится?

Решение (пояснения и шаги) - Обозначим вдоль наклонной плоскости положительное направление вверх по наклону. - Силы, действующие вдоль плоскости: - сила сопротивления движению вниз по наклону со стороны гравитации: m g sin α, направлена вниз; - внешняя сила F(t), направленная вверх вдоль наклона: F(t) = β t. - Уравнение движения вдоль плоскости: m a = F(t) − m g sin α → a(t) = [β t − m g sin α] / m. - Подставим данные: m = 1 кг, α = 30°, g = 10 м/с², β = 0.1 Н/с. sin 30° = 0.5, поэтому m g sin α = 1 · 10 · 0.5 = 5 Н. Тогда a(t) = β t − g sin α = 0.1 t − 5 м/с². - Найдём скорость, зная начальную скорость v(0) = 0: v(t) = ∫ a(τ) dτ от 0 до t = ∫ (0.1 τ − 5) dτ = 0.05 t² − 5 t. - Брусок остановится в момент, когда скорость равна нулю, кроме начального момента t = 0: 0.05 t² − 5 t = 0 → t (0.05 t − 5) = 0. Вне нуля получаем t = 5 / 0.05 = 100 с. Ответ: брусок остановится через 100 секунд после начала действия силы. Примечание: в интервале 0 < t < 100 с скорость отрицательная (брусок движется вниз по наклону), в момент t = 100 с скорость становится нулевой и затем начинает двигаться вверх.