√х²-2=√х

Разберём данное уравнение: √(x^2) − 2 = √x

1. Домены и преобразование

• Корень √x требует x ≥ 0.
• √(x^2) можно записать как |x|. Но при x ≥ 0 имеем |x| = x. Следовательно, на области x ≥ 0 уравнение эквивалентно: x − 2 = √x, при x ≥ 0.

2. Способ 1: подстановка

• Обозначим t = √x. Тогда t ≥ 0 и x = t^2.
• Подстановка в уравнение: t^2 − 2 = t → t^2 − t − 2 = 0.
• Решаем квадратное уравнение: (t − 2)(t + 1) = 0 → t = 2 или t = −1.
• Учитывая t ≥ 0, получаем t = 2. Отсюда x = t^2 = 4.

3. Проверка

• Подставим x = 4 в исходное уравнение: √(4^2) − 2 = √16 − 2 = 4 − 2 = 2, а √4 = 2. Совпадает. Значит x = 4 — решение.

4. Способ 2 (для иллюстрации, с предупреждением о коррекции при возведении в квадрат)

• Так как √x ≥ 0 и из x − 2 = √x следует x ≥ 2, можно возвести две стороны в квадрат: (x − 2)^2 = x → x^2 − 4x + 4 = x → x^2 − 5x + 4 = 0 → (x − 1)(x − 4) = 0.
• Получаем x = 1 и x = 4. Но x = 1 не удовлетворяет исходному уравнению (1 − 2 ≠ √1), поэтому допускаемое решение только x = 4.

Ответ: x = 4.