в параллелограмме ABCD периметр равен 48 см, угол C равен 30°, а перпендикуляр к прямой CD равен 5 см, найти углы и стороны параллелограмма.

Задача (уровень 8 класса, цель — понять): в параллелограмме ABCD периметр 48 см, угол C = 30°, и высота (перпендикуляр к прямой CD) равна 5 см. Найти стороны и углы.

Допущение по формулировке: перпендикуляр к CD длиной 5 см — это высота параллелограмма относительно основания CD, то есть расстояние между линиями AB и CD. Эта высота равна расстоянию между AB и CD, и она равна длине проекции стороны BC на направление, perpendicular к CD.

Шаги решения

1. Обозначения и данные

• AB ∥ CD, BC ∥ AD.
• Периметр P = 2(AB + BC) = 48 см ⇒ AB + BC = 24. Это уравнение (1).
• Угол C = ∠BCD = 30°.
• Высота h к основанию CD равна 5 см.

2. Связь высоты с сторонами

• При основании CD угол между BC и CD равен 30°. Следовательно высота h к основанию CD равна проекции стороны BC на направление, перпендикулярное CD: h = BC · sin(30°).
• По данному h = 5 см и sin(30°) = 1/2 получаем: BC · (1/2) = 5 ⇒ BC = 10 см.

3. Найдём остальные стороны

• Из уравнения (1): AB = 24 − BC = 24 − 10 = 14 см.
• В параллелограмме противолежащие стороны равны: CD = AB = 14 см, AD = BC = 10 см.

4. Углы параллелограмма

• Противоположные углы равны: ∠A = ∠C = 30°, ∠B = ∠D = 180° − 30° = 150°.

Проверки

• Периметр: 2(AB + BC) = 2(14 + 10) = 48 см — верно.
• Высота: h = BC · sin(30°) = 10 · 1/2 = 5 см — верно.
• Площадь: AB · h = 14 · 5 = 70 см²; также площадь = AB · BC · sin(∠B) = 14 · 10 · sin(150°) = 140 · 0.5 = 70 см² — согласуется.

Ответ

• С стороны: AB = CD = 14 см, BC = AD = 10 см.
• Углы: ∠A = ∠C = 30°, ∠B = ∠D = 150°.