В параллелограмме ABCD периметр равен 48 см, угол C равен 30°, а перпендикуляр к прямой CD равен 5 см, найти углы и стороны параллелограмма.

Задача (уровень 8 класса, цель — понять): в параллелограмме ABCD периметр 48 см, угол C = 30°, и высота (перпендикуляр к прямой CD) равна 5 см. Найти стороны и углы. Допущение по формулировке: перпендикуляр к CD длиной 5 см — это высота параллелограмма относительно основания CD, то есть расстояние между линиями AB и CD. Эта высота равна расстоянию между AB и CD, и она равна длине проекции стороны BC на направление, perpendicular к CD. Шаги решения 1) Обозначения и данные - AB ∥ CD, BC ∥ AD. - Периметр P = 2(AB + BC) = 48 см ⇒ AB + BC = 24. Это уравнение (1). - Угол C = ∠BCD = 30°. - Высота h к основанию CD равна 5 см. 2) Связь высоты с сторонами - При основании CD угол между BC и CD равен 30°. Следовательно высота h к основанию CD равна проекции стороны BC на направление, перпендикулярное CD: h = BC · sin(30°). - По данному h = 5 см и sin(30°) = 1/2 получаем: BC · (1/2) = 5 ⇒ BC = 10 см. 3) Найдём остальные стороны - Из уравнения (1): AB = 24 − BC = 24 − 10 = 14 см. - В параллелограмме противолежащие стороны равны: CD = AB = 14 см, AD = BC = 10 см. 4) Углы параллелограмма - Противоположные углы равны: ∠A = ∠C = 30°, ∠B = ∠D = 180° − 30° = 150°. Проверки - Периметр: 2(AB + BC) = 2(14 + 10) = 48 см — верно. - Высота: h = BC · sin(30°) = 10 · 1/2 = 5 см — верно. - Площадь: AB · h = 14 · 5 = 70 см²; также площадь = AB · BC · sin(∠B) = 14 · 10 · sin(150°) = 140 · 0.5 = 70 см² — согласуется. Ответ - С стороны: AB = CD = 14 см, BC = AD = 10 см. - Углы: ∠A = ∠C = 30°, ∠B = ∠D = 150°.