Среди 100 курсантов мореходного училища 75 имеют рост меньше 1 м 80 см и 25 — рост, больший или равный 1 м 80 см. Найти вероятность того, что среди трех случайно встреченных…
Среди 100 курсантов мореходного училища 75 имеют рост меньше 1 м 80 см и 25 — рост, больший или равный 1 м 80 см. Найти вероятность того, что среди трех случайно встреченных курсантов двое окажутся ниже, а один выше 1 м 80 см.
Задача про гипергеометрическое распределение (без замены).
Ключевые данные:
- Всего курсантов: 100
- Меньше 1,80 м: 75 человек (класс Short)
- Не меньше 1,80 м: 25 человек (класс Tall)
- Нужно найти вероятность того, что из трёх случайно выбранных курсантов ровно 2 будут ниже 1,80 м, а 1 — выше или равен 1,80 м.
Пошаговое решение:
Определим количество способов выбрать таких трёх курсантов.
- Выбираем 2 коротких из 75: C(75, 2)
- Выбираем 1 высокого из 25: C(25, 1)
- Всего способов выбрать любых 3 курсантов из 100: C(100, 3)
Вероятность равна отношению числа подходящих выборок к общему числу выборок: P = [C(75, 2) * C(25, 1)] / C(100, 3)
Вычисления:
- C(75, 2) = 75 * 74 / 2 = 2775
- C(25, 1) = 25
- Число подходящих выборок = 2775 * 25 = 69 375
- C(100, 3) = 100 * 99 * 98 / 6 = 161 700
Следовательно, P = 69 375 / 161 700 = 925 / 2156 ≈ 0.4288
Ответ: вероятность примерно 0.4288 (около 42.9%).
Примечание (проверка): если бы выборы происходили с возвращением (независимый подход), то вероятность была бы P = C(3,1) * (75/100)^2 * (25/100) = 3 * 0.75^2 * 0.25 = 0.421875, что близко к полученному значению без замены.
