Решите бикводратное уравнение x^4-5x^2-36=0

Задача: решить биквадратное уравнение x^4 - 5x^2 - 36 = 0.

Пошаговое решение (для понимания):

1. Заметим, что это биквадратное уравнение: степени у x только четные. Пусть y = x^2. Тогда уравнение превращается в квадратное: y^2 - 5y - 36 = 0.

2. Решим квадратное уравнение по дискриминанту. Дискриминант D = (-5)^2 - 4·1·(-36) = 25 + 144 = 169. Корни: y = (5 ± √169)/2 = (5 ± 13)/2. Получаем y1 = (5 + 13)/2 = 18/2 = 9 и y2 = (5 - 13)/2 = -8/2 = -4.

3. Возвращаемся к x через y = x^2.

   • Если x^2 = 9, то x = ±3.
   • Если x^2 = -4, то в действительных числах решений нет (x не может квадратироваться в отрицательное число). В комплексной области есть решения: x = ±2i.

4. Альтернативный способ: факторизация. Найдем разность и произведение для разложения по квадратам: x^4 - 5x^2 - 36 = (x^2 - 9)(x^2 + 4) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 4). Из x^2 + 4 = 0 получаем комплексные корни x = ±2i.

Ответы:

• Реальные корни: x = -3 и x = 3.
• Комплексные корни (если их рассматривать): x = ±2i.