Всего 20 учеников. При опросе 12 выбрали алгебру, 14 геометрию, 15 теорию. Каково минимальное число детей, которые выбрали все три предмета

Ответ: как минимум 1 ребенок выбрал все три предмета. Пошаговое решение (общий подход, без указания предметов и класса): 1) Обозначим - x = число детей, выбравших все три предмета; - y = число детей, выбравших ровно два предмета; - z = число детей, выбравших ровно один предмет; - w = число детей, не выбравших ни одного предмета. Всего учеников: x + y + z + w = 20. 2) Сумма по трём предметам 12 + 14 + 15 = 41 = общее количество «выборов» по предметам = 3x + 2y + z. 3) Связь с числом учеников, выбравших что-то Число учеников, выбравших хотя бы один предмет: U = x + y + z ≤ 20 (поскольку всего 20 учеников). 4) Выложим выражение 41 через U и x, z: 41 = 3x + 2y + z = 2(x + y + z) + (x - z) = 2U + (x - z). Так как U ≤ 20, получаем 41 ≤ 2·20 + (x - z) = 40 + (x - z) ⇒ x - z ≥ 1 ⇒ x ≥ z + 1. Отсюда следует, что x ≥ 1 (минимум не менее 1, потому что z ≥ 0). 5) Признание достижимости минимума Чтобы минимизировать x, достаточно показать пример, где x = 1 и все условия выполнены. Пример размещения (один из возможных): - в точках пересечения ровно две группы: AB = 5, AC = 6, BC = 8 (то есть ab = 5, ac = 6, bc = 8); - в точках только по одному предмету ничего не взять: a_only = b_only = c_only = 0; - x = 1 (три предмета одновременно). Проверка: - |A| = a_only + ab + ac + x = 0 + 5 + 6 + 1 = 12; - |B| = b_only + ab + bc + x = 0 + 5 + 8 + 1 = 14; - |C| = c_only + ac + bc + x = 0 + 6 + 8 + 1 = 15; - Общее число учеников: 0 + 0 + 0 + 5 + 6 + 8 + 1 = 20. Все условия выполнены, значит x = 1 реально достижим. 6) Вывод Так как x ≥ 1 и существует разложение с x = 1, минимальное возможное число детей, выбравших все три предмета, равно 1.