почему бисстериса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник
Задача: почему биссектриса угла параллелограмма отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.
Пусть ABCD — параллелограмм (AB ∥ CD и AD ∥ BC). Пусть луч AF — внутренней биссектрисы угла BAD и пересекает сторону CD в точке F. Пусть AB ≥ AD так, чтобы точка F лежала на отрезке CD (иначе биссектриса пересечёт CD за пределами отрезка, и задача формулируется иначе).
Доказательство, что треугольник ADF равнобедрен:
Так как AB ∥ CD, сторона DF лежит на той же прямой, что и CD, и DF ∥ AB. Значит угол ADF (между DA и DF) равен углу DAB (между DA и AB).
AF является бисектрисой угла BAD, поэтому углы DAF и FAB равны между собой: ∠DAF = ∠FAB.
Так как DF ∥ AB, угол AFD равен углу FAB (угол между AF и DF совпадает с углом между AF и AB).
Из двух равенств получаем: ∠DAF = ∠AFD.
В треугольнике ADF равные углы при вершинах A и F означают, что противоположные им стороны AD и DF равны: AD = DF.
Следовательно, треугольник ADF, отсечённый биссектрисой угла BAD от параллелограмма, является равнобедренным (AD = DF).
Кратко: из-за параллельности AB ∥ CD и того, что AF делит угол BAD пополам, получается, что углы при A и F в треугольнике ADF равны, значит стороны AD и DF равны, и треугольник ADF равнобедрен.
