Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г, Д, Е, Ж решили использовать неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для букв А, Б, В,…

Задача: для кодирования букв А, Б, В, Г заданы коды A=00, Б=010, В=011, Г=11. Найти кратчайшее кодовое слово для буквы Д, чтобы код был однозначно декодируемым (prefix-free).

Пояснение по шагам:

• Условие однозначного декодирования в двоичном коде соответствует свойству префикс-фриCode: ни одно кодовое слово не должно быть префиксом другого.
• Проверяем возможные варианты длины 1:
  • "0": является префиксом A=00 → недопустимо.
  • "1": является префиксом G=11 → недопустимо. Значит, длина кода для Д не может быть 1.
• Проверяем варианты длины 2. Возможные двоичные слова: 00, 01, 10, 11.
  • 00 и 11 уже заняты кодами A и Г (не допускаем дубликатов).
  • 01: является префиксом для B=010 и В=011 → недопустимо.
  • 10: проверяем на конфликт с существующими кодами:
    • Ни один из имеющихся кодов не начинается на 10, и 10 не является префиксом ни одного существующего кода. Следовательно, 10 образует префикс-фри набор.
• Проверка полноты набора (опционально): сумма 2^{-l_i} для кодов A=00 (2 бит), Б=010 (3 бита), В=011 (3 бита), Г=11 (2 бита) равна 0.25 + 0.125 + 0.125 + 0.25 = 0.75. Добавив Д=10 (2 бита) получаем 0.75 + 0.25 = 1.0, что соответствует пределу для полного префиксного кода.

Итак, кратчайшее допустимое кодовое слово для буквы Д: 10.

Ответ:

• Д: 10
• Совокупный код: А=00, Б=010, В=011, Г=11, Д=10.