Для студентов профессора Иванова готовится экспериментальное задание по механике. В однородную балку массой 2 кг и длиной 2 м влетают с разных сторон две шайбы. Первая шайба…

Решение (пошагово)

Исходные данные:

• Масса балки m = 2 кг, длина L = 2 м.
• Импульс each шайбы: J = 0,3 кг·м/с, длительность удара Δt = 0,04 с.
• После удара угловая скорость балки: ω = 0,3 с⁻¹.

1. Момент инерции балки относительно центра масс (вращение в плоскости балки) I_cm = (1/12) m L² = (1/12) · 2 · (2)² = (1/12) · 2 · 4 = 2/3 кг·м².

2. Угловой момент балки L_ang = I_cm · ω = (2/3) · 0,3 = 0,2 кг·м²/с.

3. Связь между угловым моментом и импульсом удара Угловой момент относительно центра даётся как L_ang = r × J. Поскольку удар второй шайбы имеет смещение по вертикали от центра (центр нижней половины), угловой момент равен J · d, где d — расстояние по вертикали от центра балки до точки приложения удара.

d = L_ang / J = 0,2 / 0,3 ≈ 0,6667 м.

4. Линейный импульс и ускорение центра масс после удара Два импульса приходят с противоположных сторон вдоль одной и той же линии действия и одинаковой величины, следовательно суммарный линейный импульс равен нулю. Поэтому центр масс после удара не получает поступательного движения, а его ускорение равно нулю: a_cm = 0.

5. Ускорение любого элемента балки после удара После импульса внешних торков больше не действует, угловая скорость сохраняется (α = 0). Точка на расстоянии r от центра масс имеет ускорение a = ω × (ω × r), т.е. центростремительное ускорение. Его величина для точки на краю балки (r = L/2 = 1 м) равна: a_max = ω² · r = (0,3)² · 1 = 0,09 м/с².

Ответ (с точностью до десятых долей):

• Максимальное ускорение любой точки балки (на конце) после удара: 0,1 м/с².
• Ускорение центра масс после удара: 0,0 м/с².

Примечания:

• Если спрашивают именно ускорение центра масс, ответ 0,0 м/с².
• Величина 0,1 м/с² соответствует максимальному ускорению точки на конце балки вследствие ее вращения с ω = 0,3 с⁻¹.