начерти график функции f(x)=(x-3)²

Задача: начертить график функции f(x) = (x − 3)².

Цель: понять содержательную часть графика и как его строить пошагово.

Условия и контекст:

• Это парабола, возйде вверх (коэффициент при (x−3)² равен 1, то есть a > 0).
• Функция записана в вершинной форме y = a(x−h)² + k с a = 1, h = 3, k = 0.
• Значит, вершина параболы в точке (3, 0), ось симметрии — x = 3.

Пошаговое решение и объяснения

1. Преобразование к вершинной форме и смысл

• f(x) = (x − 3)² можно увидеть как стандартную параболу y = x², которая сдвинута вправо на 3 единицы.
• Следовательно, вершина графика имеет координаты (h, k) = (3, 0).
• Ось симметрии графика: x = 3.

2. Основные характеристики графика

• Направление ветвей: вверх (потому что коэффициент перед квадратом положительный).
• Область определения: все действительные числа.
• Область значений (множество y): y ≥ 0.
• Пересечения с осями:
  • x-пересечение: решить (x − 3)² = 0 → x = 3. Точка пересечения с осью x: (3, 0) (это вершина, двойной корень).
  • y-пересечение: подставить x = 0: f(0) = (0 − 3)² = 9. Точка (0, 9).

3. Парные точки для построения Чтобы нарисовать график на бумаге, удобно взять несколько значений x и вычислить y:

• x = 0 → y = 9 → точка (0, 9)
• x = 1 → y = (−2)² = 4 → точка (1, 4)
• x = 2 → y = (−1)² = 1 → точка (2, 1)
• x = 3 → y = 0 → точка (3, 0) (вершина)
• x = 4 → y = 1 → точка (4, 1)
• x = 5 → y = 4 → точка (5, 4)
• x = 6 → y = 9 → точка (6, 9)

Эти точки демонстрируют симметрию относительно оси x = 3: пары (2,1) и (4,1), пары (1,4) и (5,4), и т.д.

4. Как нарисовать график

• Нарисуйте координатные оси, отметьте единичные деления (желательно одинаковый масштаб по обеим осям).
• Начертите вертикальную ось осью симметрии x = 3.
• Отметьте вершину в точке (3, 0).
• Поставьте отмеченные точки: (0,9), (1,4), (2,1), (3,0), (4,1), (5,4), (6,9).
• Соедините их плавной кривой, образуя симметричную параболу, которая открывается вверх.
• Можно отметить быстрое свойство: f(3 + t) = t², что иллюстрирует квадратичную симметрию вокруг x = 3.

5. Кратко о формулах и переводе

• Вершина параболы: (h, k) = (3, 0).
• Ось симметрии: x = 3.
• Пересечение с осью y: (0, 9).
• Пересечение с осью x: (3, 0) (единственный, двойной корень).
• График по сути — это та же парабола y = x², перенесенная вправо на 3 единицы.

Если нужно, могу развернуть решение в виде набора координатной таблицы для печати, или подсказать, как быстро построить график на конкретном масштабе.