Решить совокупность неравенств: 2x-x²<0, 3x-1/x+1≤0

Цель: понять и подробно решить систему неравенств. Задача: решить совокупность 1) 2x - x^2 < 0 2) 3x - 1/x + 1 ≤ 0, при условии x ≠ 0 (из-за 1/x) Шаг 1. Решение первого неравенства 2x - x^2 < 0 - Приведём к квадратному виду: 2x - x^2 < 0 ⇒ -(x^2 - 2x) < 0 ⇒ x^2 - 2x > 0. - Факторизация: x^2 - 2x = x(x - 2). - По знакам произведения > 0 получаем интервалы: x < 0 или x > 2. - Следовательно, решение первого неравенства: S1 = (-∞, 0) ∪ (2, ∞). Шаг 2. Решение второго неравенства 3x - 1/x + 1 ≤ 0 - Об единичной дроби: запишем через общую дробь: 3x - 1/x + 1 ≤ 0 ⇒ (3x^2 + x - 1)/x ≤ 0, при x ≠ 0. - Найдём корни числителя 3x^2 + x - 1 = 0: Дискриминант Δ = 1 + 12 = 13. x = [-1 ± sqrt(13)] / 6. Обозначим: a = (-1 - sqrt(13))/6 ≈ -0.7676, b = (-1 + sqrt(13))/6 ≈ 0.4343. - Теперь знак дроби f(x) = (3x^2 + x - 1)/x анализируем по разрезам x = a, 0, b. Интервалы и знаки по выбору тестовых точек: - x < a: числитель > 0, знаменатель < 0 ⇒ f(x) < 0 (≤ 0 выполняется) - a < x < 0: числитель < 0, знаменатель < 0 ⇒ f(x) > 0 (не выполняется) - 0 < x < b: числитель < 0, знаменатель > 0 ⇒ f(x) < 0 (≤ 0 выполняется) - x > b: числитель > 0, знаменатель > 0 ⇒ f(x) > 0 (не выполняется) - При этом разрешены точки, где числитель = 0: x = a и x = b дают ноль, что удовлетворяет условию ≤ 0. - Решение второго неравенства: S2 = (-∞, a] ∪ (0, b]. Шаг 3. Совокупность (пересечение) двух неравенств - S1 = (-∞, 0) ∪ (2, ∞) - S2 = (-∞, a] ∪ (0, b], где a < 0 < b - Пересечение: (-∞, a] ∩ (-∞, 0) = (-∞, a] (2, ∞) ⊓ (-∞, a] = ∅ (2, ∞) ⊓ (0, b] = ∅ (-∞, 0) ⊓ (0, b] = ∅ - Итого пересечение равно (-∞, a], т.е. x ≤ a. Итоговый ответ: x ≤ (-1 - sqrt(13)) / 6 ≈ -0.7676. Дополнительно (проверка): пример x = -1 удовлетворяет обоим неравенствам, пример x = -0.5 удовлетворяет первому, но не второму, что согласуется с полученным интервалом. Ответ в точной форме: x ∈ (-∞, (-1 - sqrt(13))/6] ≈ (-∞, -0.7676].