найдите точку максимума y=5ln(-19x×19)⁵+4x+3

Решение будет по задаче: y = 5 ln((-19x × 19)⁵) + 4x + 3.

1. Упростим выражение

• (-19x × 19) = -361x.
• ln((-361x)⁵) = 5 ln(-361x) (свойство логарифма: ln(a^b) = b ln a). Таким образом, y = 5 · [ln((-361x)⁵)] + 4x + 3 = 25 ln(-361x) + 4x + 3.

2. Область определения

• Для логарифма требуется аргумент > 0: -361x > 0 ⇒ x < 0. Далее будем рассуждать в области x < 0.

3. Производная

• d/dx [ln(-361x)] = 1/x (производная ln(u) = u'/u, здесь u = -361x, u' = -361; (-361)/(-361x) = 1/x).
• Поэтому y' = 25 · (1/x) + 4 = 25/x + 4.

4. Критическая точка и максимум

• Находим точки, где y' = 0: 25/x + 4 = 0 ⇒ 25/x = -4 ⇒ x = -25/4.
• Вторая производная: y'' = derivative от 25/x = -25/x^2. Для x ≠ 0 эта величина отрицательна, значит точка x = -25/4 — локальный максимум.
• Так как область определения — (-∞, 0), данная локальная максимальная точка является глобальной максимумой на этой области.

5. Значение функции в точке максимума

• Подставим x = -25/4:
  • -361x = -361·(-25/4) = 9025/4.
  • y = 25 ln(9025/4) + 4·(-25/4) + 3 = 25 ln(9025/4) - 25 + 3 = 25 ln(9025/4) - 22.

6. Примерная численная оценка

• ln(9025/4) ≈ ln(2256.25) ≈ 7.72.
• y ≈ 25 · 7.72 - 22 ≈ 193 - 22 ≈ 171.
• Точное координаты точки максимума: x = -25/4, y = 25 ln(9025/4) - 22.

Ответ:

• Точка максимума: x = -25/4, y = 25 ln(9025/4) - 22 (приближённо y ≈ 171.1).