найдите точку минимума y=x²-13x+15lnx-1

Задача: найти точку минимума функции y = x^2 − 13x + 15 ln x − 1.

1. Область определения

• Потребуется ln x, значит x > 0.

2. Первая производная и критические точки

• y' = d/dx(x^2) − d/dx(13x) + d/dx(15 ln x) − d/dx(1) = 2x − 13 + 15/x.
• Приведём к общей дроби и приравняем к нулю: y' = (2x^2 − 13x + 15)/x. Значит 2x^2 − 13x + 15 = 0.
• Факторизация квадратичного выражения: 2x^2 − 13x + 15 = (2x − 3)(x − 5). Следовательно критические точки: x = 3/2 и x = 5.

3. Вторая производная и тип критических точек

• y'' = d/dx(2x − 13 + 15/x) = 2 − 15/x^2.
• Проверяем точки:
  • При x = 3/2: y''(3/2) = 2 − 15/(9/4) = 2 − 20/3 = −14/3 < 0 → это локальный максимум.
  • При x = 5: y''(5) = 2 − 15/25 = 2 − 3/5 = 7/5 > 0 → это локальный минимум.

Итак, функция имеет локальный минимум в точке x = 5.

4. Значение функции в точке локального минимума

• y(5) = 5^2 − 13·5 + 15 ln 5 − 1 = 25 − 65 + 15 ln 5 − 1 = −41 + 15 ln 5.
• Приближённо: ln 5 ≈ 1.6094379, 15 ln 5 ≈ 24.1416, значит y(5) ≈ −41 + 24.1416 ≈ −16.8584.

5. Глобальный минимум?

• Как x → 0+, ln x → −∞, поэтому 15 ln x доминирует и y → −∞. Значит глобального минимума на (0, ∞) нет; функция не ограничена снизу.
• У функции есть локальный минимум в точке (x, y) = (5, −41 + 15 ln 5) ≈ (5, −16.86).

Ответ:

• Локальный минимум: x = 5, y = −41 + 15 ln 5 ≈ −16.86.
• Глобальный минимум на всей области определения отсутствует (инфинум равен −∞ как x → 0+).