Реши уравнение по формуле Кардано: 2 x^3 - 4 x^2 + x - 2 = 0

Задача: решить уравнение по формуле Кардано: 2 x^3 - 4 x^2 + x - 2 = 0. Пошаговое решение по Кардано (для общего понимания, с последующей проверкой факторизацией): 1) Нормализация коэффициентов Упростим делением на ведущий коэффициент 2: x^3 - 2x^2 + (1/2)x - 1 = 0. 2) Приведение к депрессированной кубической форме Для уравнения x^3 + Bx^2 + Cx + D = 0 выполняем замену x = y - B/3. Здесь B = -2, поэтому -B/3 = 2/3 и подставляем x = y + 2/3. После подстановки получаем депрессированную кубическую y^3 + p y + q = 0, где p = (3C - B^2)/3 = (3*(1/2) - (-2)^2)/3 = (1.5 - 4)/3 = -5/6, q = (27D - 9BC + 2B^3)/27 = (27*(-1) - 9*(-2)*(1/2) + 2*(-2)^3)/27 = (-27 + 9 - 16)/27 = -34/27. Итак, депрессированная кубическая: y^3 + p y + q = 0, где p = -5/6, q = -34/27. 3) Дискриминант Кардано Для уравнения y^3 + p y + q = 0 вычислим Δ = (q/2)^2 + (p/3)^3. q/2 = (-34/27)/2 = -17/27, поэтому (q/2)^2 = 289/729. (p/3)^3 = (-5/6 / 3)^3 = (-5/18)^3 = -125/5832. Значит Δ = 289/729 - 125/5832 = 2187/5832 = 3/8. 4) Корни через формулу Кардано Корень y задаётся как сумма кубических корней: y = ∛(-q/2 + √Δ) + ∛(-q/2 - √Δ). --q/2 = 17/27. √Δ = √(3/8). Тогда y = ∛(17/27 + √(3/8)) + ∛(17/27 - √(3/8)). 5) Возвращение к x Из x = y + 2/3 получаем один действительный корень: x1 = 2/3 + ∛(17/27 + √(3/8)) + ∛(17/27 - √(3/8)). numerically это примерно x1 ≈ 2. Но заметим важное: этот многочлен имеет ещё два комплексных корня. 6) Факторизация для проверки Если проверить корни, легко увидеть, что x = 2 является корнем: 2·2^3 - 4·2^2 + 2 - 2 = 16 - 16 + 0 = 0. Следовательно, делим на (x - 2): 2x^3 - 4x^2 + x - 2 = (x - 2)(2x^2 + 1). Отсюда остальные корни: 2x^2 + 1 = 0 → x^2 = -1/2 → x = ± i/√2. Итак, полное решение: - Реальный корень: x = 2. - Два комплексных корня: x = i/√2 и x = -i/√2. Если нужно, можно оставить ответ в виде Cardano-выражения для реального корня: x1 = 2/3 + ∛(17/27 + √(3/8)) + ∛(17/27 - √(3/8)). И дополнительно указать, что пара комплексных корней получается из факторизации или через Cardano-подстановку с комплексными кубическими корнями выше Δ.