Întrebări şi exerciții: 1. Cum ar influența unghiului de înclinare a ulucului asupra valorii acceleraţiei? Pentru ce valoare a unghiului accelerația bilei ar fi maximă? 2. Deduceți expresia pentru formula de calcul a acceleraţiei (1) 3. Ce viteză are bila în momentul atingerii corpului paralelipipedic? Pentru ce valoare a unghiului viteza bilei ar fi maximă?

Iată o soluție detaliată, pornind de la presupunerile clasice pentru o bilă solidă care rulează fără alunecare pe o rampă înclinată cu un obstacol (paralelipiped) în calea ei. Presupuneri: - Bila este o sferă solidă, masa m, raza R, momentul de inerție I = (2/5) m R^2. - Bila se deplasează în sensul coborârii pe o rampă înclinată la un unghi θ cu orizontala, cu alunecare fără derapaj (din cauza frecării statice). - Frecarea este suficient de mare pentru ca mișcarea să fie rulare fără alunecare: v = ω R. - La întrebările (2) și (3) folosim, pe rând, dinamica și conservarea energiei. 1) Cum influențează unghiul de înclinare θ valoarea accelerației? - Din dinamica de pe rampă, cu forța de frecare f care produce cuplu: m g sin θ - f = m a f R = I α, iar în rulare fără alunecare α = a/R. Deci f = I a / R^2. Înlocuind: m g sin θ = m a + I a / R^2 = a (m + I / R^2) Așadar: a = [m g sin θ] / [m + I / R^2] = g sin θ / [1 + I/(m R^2)]. - Pentru bila solidă I/(m R^2) = 2/5, deci: a = g sin θ / (1 + 2/5) = (5/7) g sin θ. - Concluzie: a crește proporțional cu sin θ. Cu cât θ este mai mare, cu atât accelerația este mai mare. Valoarea maximă a accelerației este atinsă când sin θ este maxim (pentru o rampă cu θ în intervalul [0°, 90°]), adică θ = 90°. În această situație, a_max = (5/7) g ≈ 0,714 g. 2) Deduceți expresia pentru formula de calcul a accelerației (1) Derivare pas cu pas (pentru o bilă care rulează fără alunecare): - Considerăm forța gravitațională pe rampă: m g sin θ acționează în josul rampii. - Friction force f acționează în sens opus mișcării pentru a crea cuplul necesar rulării. - Din echailibrul dinamic: m g sin θ - f = m a f R = I α, iar pentru rulare fără alunecare α = a / R → f = I a / R^2. - Înlocuind: m g sin θ = m a + (I a / R^2) = a (m + I / R^2) - Rezolvare pentru a: a = [m g sin θ] / [m + I / R^2] = g sin θ / [1 + I/(m R^2)]. Aplicând I = (2/5) m R^2 pentru o bilă solidă: a = g sin θ / (1 + 2/5) = (5/7) g sin θ. Deci formula (1) este: a = g sin θ / (1 + I/(m R^2)). Pentru o bilă solidă: a = (5/7) g sin θ. 3) Ce viteză are bila în momentul atingerii corpului paralelipipedic? Pentru ce valoare a unghiului viteza bilei ar fi maximă? Notăm: - Să zicem că în drum există un obstacol (paralelipiped) care se atinge după ce bila a coborât o distanță s pe rampă. Înălțimea scăzută de la început până la contact este h = s sin θ (dacă începutul este la înălțimea inițială și contactul este cu obstacolul la distanța s). - Energia mecanică (pentru rulare) între început și momentul contactului: m g h = 1/2 m v^2 + 1/2 I ω^2, cu ω = v / R și I = (2/5) m R^2. Din acest lucru: v^2 = [2 m g h] / [m + I / R^2] = [2 g h] / [1 + I/(m R^2)]. - Pentru bila solidă I/(m R^2) = 2/5, deci: v^2 = [2 g h] / (1 + 2/5) = [2 g h] / (7/5) = (10/7) g h. - Înlocuind h = s sin θ: v^2 = (10/7) g s sin θ sau, dacă exprimăm în funcție de înălțimea scăzută totală până la contact, v^2 = (10/7) g h. - Concluzie privind maximul în funcție de θ (pentru un contact la o distanță s fix în rampă): v = sqrt[(10/7) g s sin θ], deci v crește cu sin θ. Pentru un s fix, viteza este maximă la θ = 90°, adică rampă verticală. - Dacă contactul este așezat la capătul rampii cu înălțimea totală H (de la început până la contact), atunci v^2 = (10/7) g H, iar viteza este maximă în funcție de cât de mare este această înălțime H. În cazul în care H variază împreună cu θ pentru o rampă de lungime fixă, din nou maxima apare la θ = 90°. Răspunsuri sintetice: - 1) Unghiul θ influențează accelerația astfel încât a ∝ sin θ. Maxim la θ = 90° (a_max = (5/7) g). - 2) Formula generală pentru accelerație: a = g sin θ / (1 + I/(m R^2)). Pentru o bilă solidă, a = (5/7) g sin θ. - 3) Viteza bilei la contact: v^2 = (10/7) g h, unde h este înălțimea scăzută până la contact (h = s sin θ dacă s e distanța pe rampă până la contact). Pentru un s fix, v este maximă la θ = 90° (v_max = sqrt[(10/7) g s]); sau, în funcție de înălțimea totală până la contact, v_max = sqrt[(10/7) g H].