1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через три точки P(2; -1; 0), K(1; -2; 3), H(-1; 3; 3).

Задача: найти уравнение плоскости, проходящей через точки P(2, -1, 0), K(1, -2, 3), H(-1, 3, 3).

Пошаговое решение

1. Построим векторы в плоскости, проходящей через эти точки.

• PK = K − P = (1−2, −2−(−1), 3−0) = (−1, −1, 3)
• PH = H − P = (−1−2, 3−(−1), 3−0) = (−3, 4, 3)

2. Найдём нормаль плоскости как вектор-произведение PK × PH. Нормаль n = PK × PH = determinant: | i j k | |−1 −1 3 | |−3 4 3 |

Вычисляем:

• i-компонента: (−1)3 − 34 = −3 − 12 = −15
• j-компонента: −[(−1)3 − 3(−3)] = −(−3 + 9) = −6
• k-компонента: (−1)4 − (−1)(−3) = −4 − 3 = −7

Получаем n = (−15, −6, −7). Масштабируем на противоположный вектор: n = (15, 6, 7). Любой кратный нормалью вектор подходит.

3. Запишем уравнение плоскости через точку P с использованием нормали. Общее виде уравнения плоскости: n • (r − r0) = 0, где r = (x, y, z), r0 = P = (2, −1, 0). Подставляем: 15(x − 2) + 6(y + 1) + 7(z − 0) = 0.

Раскрывая скобки: 15x − 30 + 6y + 6 + 7z = 0 → 15x + 6y + 7z − 24 = 0.

Либо в явном виде: 15x + 6y + 7z = 24.

4. Проверка на других точках (на всякий случай):

• Для K(1, −2, 3): 15·1 + 6·(−2) + 7·3 = 15 − 12 + 21 = 24 ✓
• Для H(−1, 3, 3): 15·(−1) + 6·3 + 7·3 = −15 + 18 + 21 = 24 ✓

Ответ Уравнение плоскости: 15x + 6y + 7z = 24 (или 15x + 6y + 7z − 24 = 0).