1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через три точки P(2; -1; 0), K(1; -2; 3), H(-1; 3; 3).
Задача: найти уравнение плоскости, проходящей через точки P(2, -1, 0), K(1, -2, 3), H(-1, 3, 3).
Пошаговое решение
1) Построим векторы в плоскости, проходящей через эти точки.
- PK = K − P = (1−2, −2−(−1), 3−0) = (−1, −1, 3)
- PH = H − P = (−1−2, 3−(−1), 3−0) = (−3, 4, 3)
2) Найдём нормаль плоскости как вектор-произведение PK × PH.
Нормаль n = PK × PH = determinant:
| i j k |
|−1 −1 3 |
|−3 4 3 |
Вычисляем:
- i-компонента: (−1)*3 − 3*4 = −3 − 12 = −15
- j-компонента: −[(−1)*3 − 3*(−3)] = −(−3 + 9) = −6
- k-компонента: (−1)*4 − (−1)*(−3) = −4 − 3 = −7
Получаем n = (−15, −6, −7). Масштабируем на противоположный вектор: n = (15, 6, 7). Любой кратный нормалью вектор подходит.
3) Запишем уравнение плоскости через точку P с использованием нормали.
Общее виде уравнения плоскости: n • (r − r0) = 0, где r = (x, y, z), r0 = P = (2, −1, 0).
Подставляем: 15(x − 2) + 6(y + 1) + 7(z − 0) = 0.
Раскрывая скобки: 15x − 30 + 6y + 6 + 7z = 0 → 15x + 6y + 7z − 24 = 0.
Либо в явном виде: 15x + 6y + 7z = 24.
4) Проверка на других точках (на всякий случай):
- Для K(1, −2, 3): 15·1 + 6·(−2) + 7·3 = 15 − 12 + 21 = 24 ✓
- Для H(−1, 3, 3): 15·(−1) + 6·3 + 7·3 = −15 + 18 + 21 = 24 ✓
Ответ
Уравнение плоскости: 15x + 6y + 7z = 24 (или 15x + 6y + 7z − 24 = 0).
