2. Площадь одной грани куба ABCDA,B, C,D, равна 16, точки М, К и N - середины ребер А, В,, АА, и А, D,. Найдите площадь сечения куба плоскостью KMN. a) 3/2; 6) 4/3; в) 2/3; г) 6.

Дано: площадь одной грани куба равна 16, значит сторона квадрата a удовлетворяет a^2 = 16 → a = 4.

Пусть система координат такова: A(0,0,0), B(4,0,0), D(0,4,0), A1(0,0,4). Точки середины ребер:

• M середины AB: M(2,0,0)
• N середины AD: N(0,2,0)
• K середины AA1: K(0,0,2)

Плоскость KMN задаётся уравнением x + y + z = 2, а секущая куба в этой плоскости образует треугольник M N K. Найдём длины сторон треугольника:

• MN = sqrt((2-0)^2 + (0-2)^2 + (0-0)^2) = sqrt(4+4) = 2√2
• MK = sqrt((2-0)^2 + (0-0)^2 + (0-2)^2) = 2√2
• NK = sqrt((0-0)^2 + (2-0)^2 + (0-2)^2) = 2√2

Тогда треугольник M N K равносторонний со стороны s = 2√2. Его площадь: S = (√3/4) s^2 = (√3/4) (2√2)^2 = (√3/4) · 8 = 2√3.

Ответ: 2√3.

Примечание: приведённые варианты в задаче не совпадают с полученным числом; возможно, в формулировке опечатка в вариантах ответа.