5) Автомат получает на вход четырёхзначное натуральное число и строит новое число по следующему алгоритму: 1. вычисляются суммы первой и второй, второй и третьей и третьей и…
5) Автомат получает на вход четырёхзначное натуральное число и строит новое число по следующему алгоритму: 1. вычисляются суммы первой и второй, второй и третьей и третьей и четвертой цифр; 2. из полученных сумм отбрасывается наименьшая; 3. остальные суммы записываются в порядке невозрастания. Пример. Исходное число: 1284. Суммы: 1+2=3;2+8=10; 8 + 4 = 12. Отбрасывается наименьшая сумма 3. Результат: 1210. Укажите наименьшее число, при вводе которого автомат выдаёт значение 126.
Задача сводится к следующему:
- Пусть цифры исходного числа: a, b, c, d (четырехзначное число значит a ∈ {1..9}).
- Пути суммы: S1 = a + b, S2 = b + c, S3 = c + d.
- После отброса наименьшей суммы две оставшиеся суммы записываются в неубывающем порядке в виде числа. Чтобы получить значение 126, две оставшиеся суммы должны быть 12 и 6 (12 перед 6), т.е. набор сумм {S1, S2, S3} должен содержать 12, 6 и ещё минимальное m ≤ 6, при этом после удаления минимального и сортировки остаются 12 и 6.
Поиск минимального входного числа:
- Чтобы минимизировать входное число, начинаем с наименьшего a = 1.
- Рассматриваем вариант, при котором сумма c + d равна 12 (чтобы получить 12 среди оставшихся сумм). Остаётся проверять, чтобы другая пара сумм (a+b и b+c) давала вторую величину равной 6 или не превышала её и чтобы максимум из них был именно 6, чтобы после удаления минимального получилась пара 12, 6.
- При a = 1 ограничения: a + b ≤ 6 ⇒ b ≤ 5; b + c ≤ 6; c + d = 12 ⇒ d = 12 − c, где c ∈ [3, 9], d ∈ [3, 9].
Перебираем возможные b и соответствующие c:
b = 0: тогда c ≤ 6 и c ∈ {3, 4, 5, 6}. Чтобы максимум{a+b, b+c} был 6, нужен c = 6. Тогда d = 12 − 6 = 6. Получаем число 1 0 6 6 = 1066. Проверка: S1 = 1+0 = 1; S2 = 0+6 = 6; S3 = 6+6 = 12. Удаляем наименьшее (1), остаются 6 и 12; записано как 126. Работает.
b = 1: c ∈ {3,4,5}; S1 = 2, S2 ∈ {3,4,5}; ни один из них не равен 6 — не подходит.
b = 2: c ∈ {3,4}; S1 = 3, S2 ∈ {3,4}; нет 6 — не подходит.
b = 3: c = 3; S1 = 4, S2 = 3; нет 6 — не подходит.
b ≥ 4: из-за c ≤ 12 − b получается, что c слишком мал для c+d = 12; таких случаев нет.
Таким образом, при a = 1 единственно подходящее число — 1066.
Так как любое число с a ≥ 2 будет уже не меньше 2000, а значит больше 1066, минимальным входным числом, при котором выдаётся 126, является 1066.
Ответ: 1066
Проверка: 1066 → суммы S1=1, S2=6, S3=12; удаляем наименьшую (1); оставшиеся 6 и 12 упорядочиваем как 12, 6 → 126.
Обсуждение
2 сообщения4) Автомат получает на вход четырёхзначное натуральное число и строит новое число по следующему алгоритму: 1. вычисляются суммы первой и второй, второй и третьей и третьей и четвёртой цифр; 2. из полученных сумм отбрасывается наименьшая, 3. остальные суммы записываются в порядке неубывания. Пример. Исходное число: 1284. Суммы: 1+2=3;2+8=10;8+4= 12. Отбрасывается наименьшая сумма 3. Результат: 1012. Укажите наименьшее число, при вводе которого автомат выдаёт значение 210.
Чтобы найти наименьшее четырехзначное натуральное число, которое в результате выполнения алгоритма выдаёт значение 210, нужно понимать сам алгоритм:
Дано четырехзначное число \(abcd\), где \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) — его цифры.
Считаем суммы:
- \(S1 = a + b\)
- \(S2 = b + c\)
- \(S3 = c + d\)
Отбрасываем наименьшую из трёх сумм и остаются две, которые нужно упорядочить в неубывающем порядке.
Полученное число будет записано как \(XY\), где \(X\) и \(Y\) — оставшиеся суммы.
Наша задача — получить результат 210. Так как числа обозначаются в двузначной записи, возможно следующее:
- Первое число \(X\) = 2
- Второе число \(Y\) = 10
А это значит, что оставшиеся суммы после удаления наименьшей должны быть 2 и 10.
Теперь рассматриваем возможные варианты для \(S1\), \(S2\) и \(S3\):
Пара чисел: \(X = 2\) и \(Y = 10\)
Можно предположить:
- Один из \(S1\), \(S2\), \(S3\) должен равняться 2, другой должен равняться 10.
1. Случай: \(S1 = 2\), \(S2 = 10\)
Тогда:
- \(a + b = 2\) (так как \(a\) является старшей цифрой, \(a\) может быть 1, \(b\) = 1)
- \(b + c = 10\) (если \(b = 1\), тогда \(c = 9\))
Тогда:
- Ведем \(S3 = c + d\)
Если \(c = 9\), и, чтобы сумма \(S3\) не была меньше 10, \(d\) должно быть ≥ 0. Если выберем \(d = 0\), то:
- \(S3 = 9 + 0 = 9\)
Но в конечном счете мы получаем наименьшую сумму как 2:
- Остальные суммы 2, 10, 9.
- Удаляем 2, т.к. наименьшая.
- 9 и 10 не соответствуют условию.
2. Другие комбинации
Мы не можем иметь 10 как сумму двух единичных чисел. Пробуем другие комбинации сумм:
Пробуем оставить 10 и 2
- \(b+c=10\) и следовательно \(S1 + S3 = 12\).
- Рассмотрим:
- \(S1 = 2\) и \(S2\) откачаем.
- Пробуем ещё один, выберем чтобы \(S3 = 10\), тогда \(10 > 2\), отсюда:
- Число 1109:
- \(S1 = 1 + 1 = 2\)
- \(S2 = 1 + 0 = 1\) (удаляется)
- \(S3 = 0 + 9 = 9\)
\[S1, S2, S3 = 2, 1, 9\] — остаются 2, 10 (работает), но не проходит. Другое:
Минимум:
- Исходное число 1099:
- \(S1 = 1 + 0 = 1\)
- \(S2 = 0 + 9 = 9\)
- \(S3 = 9 + 9 = 18\): (выход 10 и 2 не работает).
Таким образом ищем минимальное:
Решение — 2110:
- \(1 + 1 = 2\)
- \(0 + 1 = 1\)
- \(1 + 0 = 1\).
Вот в этом ключе ответом является число.
Минимальное число, выдающее 210 — это 1091.
