y=-x²+4x

Разбор задачи: y = -x^2 + 4x

Цель: понять, как понять форму параболы, её вершину, ось симметрии и пересечения с осями.

1. Приведение к удобному виду (вершинная форма)

• Начальная функция: y = -x^2 + 4x.
• Возьмём общий множитель: y = -(x^2 - 4x).
• Дополнением до квадрата добиваемся вершины. Внутри скобок: x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4.
• Подставляем: y = -[(x - 2)^2 - 4] = -(x - 2)^2 + 4.
• Итог: вершина параболы в точке (h, k) = (2, 4). Форма y = -(x - 2)^2 + 4.

2. Вершина и ось симметрии

• По формуле вершины для ax^2 + bx + c: x_v = -b/(2a). Здесь a = -1, b = 4 → x_v = -4/(2·(-1)) = 2.
• Значение y в вершине: y(2) = - (2)^2 + 4·2 = -4 + 8 = 4.
• Следовательно, вершина параболы: (2, 4). Ось симметрии: x = 2.

3. Пересечения с осями координат

• Пересечение с осью y (когда x = 0): y = -0^2 + 4·0 = 0. Точка (0, 0).
• Пересечения с осью x (решаем -x^2 + 4x = 0):
  • -x(x - 4) = 0 → x = 0 или x = 4.
  • Точки пересечения с осью x: (0, 0) и (4, 0).

4. Графическое поведение и другие свойства

• Коэффициент a = -1 < 0: парабола открывается вниз.
• Максимум достигается в вершине: y_max = 4.
• Диапазон значений: y ≤ 4.
• Значения на симметричных по оси x участках: например, при x = 1 и x = 3 получаем одинаковые y: y(1) = y(3) = 3.
• Домена и область определения: домен всей числовой прямой, (-∞, +∞). Область значений: (-∞, 4].

5. Краткое резюме

• Вершина: (2, 4)
• Ось симметрии: x = 2
• Пересечения с осями: (0, 0) и (4, 0)
• В вершинной форме: y = -(x - 2)^2 + 4
• Диапазон: y ≤ 4

Если нужно, могу привести график параболы или привести ещё пару точек для построения очерка графика.