какие из векторов а(1,2,-3) с(3,6,-6) в(2,4,-6) коллинеарны

Дано три вектора:

• a = (1, 2, -3)
• c = (3, 6, -6)
• b = (2, 4, -6)

Задача: определить, какие из них коллинеарны (т.е. какие есть такие числа t, что вектор = t раза другой).

1. Проверка пары a и b

• Предположим, что b = t a.
• По компонентам: 2 = t·1 ⇒ t = 2.
• Проверяем остальные компоненты: t·2 = 2·2 = 4, что совпадает с 4; t·(-3) = 2·(-3) = -6, что совпадает с -6.
• Итог: b = 2a, значит a и b коллинеарны.

2. Проверка пары a и c

• Предположим, что c = t a.
• По первым компонентам: t = 3/1 = 3.
• Проверяем остальные: t·2 = 3·2 = 6 (совпадает), но t·(-3) = 3·(-3) = -9, а у c третья компонента равна -6. Несовпадение.
• Итог: a и c не коллинеарны.

3. Проверка пары b и c

• Предположим, что c = t b.
• По первым компонентам: t = 3/2 = 1.5.
• Проверяем вторую компоненту: t·4 = 1.5·4 = 6, совпадает.
• Но третья компонента: t·(-6) = 1.5·(-6) = -9, а у c третья компонента -6. Несовпадение.
• Итог: b и c не коллинеарны.

Вывод

• Векторы a и b коллинеарны (b = 2a).
• Векторы c не коллинеарны ни с a, ни с b.

Дополнительный быстрый метод (наглядно через векторное произведение): для коллинеarity достаточно, чтобы a × b = 0. Здесь a × b = (0, 0, 0), что подтверждает коллинеарность a и b. А для (a × c) и (b × c) получаются ненулевые векторы, следовательно, c не коллинеарен с ними.