найди все пары целых чисел m,n, такие, что m+n=3(mn+10)

Задача: найти все пары целых чисел m, n such that m + n = 3(mn + 10).

Решение (пошагово, через преобразование к произведению):

1. Раскроем скобки и перенесем всё в одно место: m + n = 3mn + 30 3mn - m - n + 30 = 0

2. Умножим на 3, чтобы получить выражение в виде суммы произведений: 9mn - 3m - 3n + 90 = 0

3. Заметим, что (3m - 1)(3n - 1) = 9mn - 3m - 3n + 1. Поэтому можем записать: (3m - 1)(3n - 1) + 89 = 0 либо (3m - 1)(3n - 1) = -89

4. Число -89 делится на целые множители только как (-1, 89) и (89, -1) и их перестановки. Таким образом, для целых m и n возможны пары: a = 3m - 1, b = 3n - 1, и a·b = -89.

5. Рассмотрим варианты:

   • a = -1, b = 89 → 3m - 1 = -1 ⇒ m = 0; 3n - 1 = 89 ⇒ n = 30.
   • a = 89, b = -1 → 3m - 1 = 89 ⇒ m = 30; 3n - 1 = -1 ⇒ n = 0. Другие пары дают нецелые m или n.

6. Проверим полученные пары:

   • (m, n) = (0, 30): m + n = 30, mn = 0, 3(mn + 10) = 3·10 = 30 — верно.
   • (m, n) = (30, 0): аналогично — верно.

Ответ: все пары целых чисел

• (m, n) = (0, 30)
• (m, n) = (30, 0)