Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AD и BC пересекаются в точке F, BF = 56, DF = 35, AB = 24. Найдите CD.

Задача: Вписанный в окружность четырехугольник ABCD, точка F — пересечение прямых AD и BC (то есть F лежит на AD и на BC). Известны BF = 56, DF = 35, AB = 24. Найти CD. Решение: 1) Замечаем важное свойство для цикличного четырехугольника: линии AD и BC — противоположные стороны, их продолжения пересекаются в точке F вне окружности. Рассматривая треугольники FAB и FCD, попробуем найти их связь. 2) Докажем, что треугольники FAB и FCD подобны (AA признак): - ∠FAB: угол между FA и AB. Так как F лежит на AD, то FA лежит на одной прямой с AD, следовательно ∠FAB = ∠DAB. - ∠FCD: угол между FC и CD. Так как F лежит на BC, то FC лежит на одной прямой с BC, следовательно ∠FCD = ∠BCD. - В циклическом четырехугольнике ∠DAB и ∠BCD равны (они обе subtendят дугу DB). - С этим получаем ∠FAB = ∠FCD. - Аналогично: ∠FBA = ∠ABC и ∠FDC = ∠ADC, а ∠ABC = ∠ADC (они обе subtend дугу AC). - Следовательно triangles FAB и FCD подобны по двум углам (AA). 3) Из подобия следует пропорция соответствующих сторон: AB / CD = FB / FD. 4) Подставим данные: AB = 24, FB = 56, FD = 35. 24 / CD = 56 / 35 = 8 / 5. Отсюда CD = 24 * (5 / 8) = 15. Ответ: CD = 15.