Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AD и BC пересекаются в точке F, BF = 56, DF = 35, AB = 24. Найдите CD.

Задача: Вписанный в окружность четырехугольник ABCD, точка F — пересечение прямых AD и BC (то есть F лежит на AD и на BC). Известны BF = 56, DF = 35, AB = 24. Найти CD.

Решение:

1. Замечаем важное свойство для цикличного четырехугольника: линии AD и BC — противоположные стороны, их продолжения пересекаются в точке F вне окружности. Рассматривая треугольники FAB и FCD, попробуем найти их связь.

2. Докажем, что треугольники FAB и FCD подобны (AA признак):

• ∠FAB: угол между FA и AB. Так как F лежит на AD, то FA лежит на одной прямой с AD, следовательно ∠FAB = ∠DAB.
• ∠FCD: угол между FC и CD. Так как F лежит на BC, то FC лежит на одной прямой с BC, следовательно ∠FCD = ∠BCD.
• В циклическом четырехугольнике ∠DAB и ∠BCD равны (они обе subtendят дугу DB).
• С этим получаем ∠FAB = ∠FCD.
• Аналогично: ∠FBA = ∠ABC и ∠FDC = ∠ADC, а ∠ABC = ∠ADC (они обе subtend дугу AC).
• Следовательно triangles FAB и FCD подобны по двум углам (AA).

3. Из подобия следует пропорция соответствующих сторон: AB / CD = FB / FD.

4. Подставим данные: AB = 24, FB = 56, FD = 35. 24 / CD = 56 / 35 = 8 / 5.

Отсюда CD = 24 * (5 / 8) = 15.

Ответ: CD = 15.