Найти боковую сторону равнобедренной трапеции основание которой равна 14 см и 8 см если один из углов 120 градусов
Ответ: боковая сторона равнобедренной трапеции равна 6 см.
Пошаговое решение (для понятия):
Пусть меньшая база AB имеет длину 8 см, большая база CD — 14 см, AB // CD. Так как трапеция равнобедренная, углы при одной базе равны. Пусть один из углов на меньшей базе равен 120°. Тогда на этой базе углы A и B по 120°, а на другой базе C и D — по 60°.
Разница длин баз: CD − AB = 14 − 8 = 6. В равнобедренной трапеции верхняя база смещена относительно нижней на одной и той же величине с обеих сторон, поэтому горизонтальный отход одной боковой стороны (например, AD) от точки A до проекции верхней базы равен (CD − AB)/2 = 6/2 = 3 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной AD как гипотенузой, горизонтальным плечом 3 см и высотой h (расстоянием между базами). Тогда l^2 = h^2 + 3^2, где l — длина боковой стороны.
Используем угол A = 120°. Косинус угла между основанием AB и боковой стороной AD равен отношению длинного горизонтального компонента к гипотенузе. Горизонтальная составляющая AD по направлению вдоль основания равна −3 (величина 3, знак минус так как AD уходит влево). Значит cos(120°) = (−3)/l. Так как cos(120°) = −1/2, получаем −1/2 = −3/l, откуда l = 6.
По желанию можно найти высоту: h = sqrt(l^2 − 3^2) = sqrt(36 − 9) = sqrt(27) = 3√3 см. Но ответ на задачу запрашивал длину боковой стороны: l = 6 см.
Итого: боковая сторона трапеции равна 6 см.
