Прим

Спасибо за задание. Я могу подробно разобрать каждое задание, но текст интегралов на фото распознаётся не всегда чётко. Чтобы дать точные решения именно ваших примеров, пришлите, пожалуйста, текст интегралов (или перезагрузите фото с более высоким качеством). Ниже я дам подробное объяснение метода и пример пошагового решения для типа задач, которые чаще встречаются в таком формате. Как только пришлёте конкретные выражения, я распишу решения точно под ними.

Что обычно требуется для неопределённого интеграла

• Правило мощной функции: ∫ x^n dx = x^(n+1) / (n+1) + C, если n ≠ -1.
• Если в интеграле есть множитель a: ∫ a·f(x) dx = a·∫ f(x) dx.
• Линии интегрирования по сложению: ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx.
• Для констант: ∫ C dx = Cx + C.
• Термин за термином: если интеграл суммы полиномов, интегрируем каждый член по отдельности.

Пошаговый пример (типичная задача) Пример 1: Найти неопределённый интеграл ∫ (2x^2 − 3x + 5) dx.

1. Разделяем на суммы: ∫ (2x^2) dx − ∫ (3x) dx + ∫ 5 dx.
2. Интегрируем каждое слагаемое по правилу для степенных функций:
   • ∫ 2x^2 dx = 2·∫ x^2 dx = 2·(x^3/3) = (2/3)x^3
   • ∫ (−3x) dx = −3·∫ x dx = −3·(x^2/2) = −(3/2)x^2
   • ∫ 5 dx = 5x
3. Складываем результаты и добавляем константу интегрирования C: (2/3)x^3 − (3/2)x^2 + 5x + C

Итого: ∫ (2x^2 − 3x + 5) dx = (2/3)x^3 − (3/2)x^2 + 5x + C.

Пример 2: ∫ (7x^3 + 4x^2 − x + 9) dx.

1. ∫ 7x^3 dx = 7·(x^4/4) = (7/4)x^4
2. ∫ 4x^2 dx = 4·(x^3/3) = (4/3)x^3
3. ∫ (−x) dx = −(x^2/2)
4. ∫ 9 dx = 9x
5. Суммируем и добавляем C: (7/4)x^4 + (4/3)x^3 − (1/2)x^2 + 9x + C

Как действовать дальше

• Пришлите точный текст каждого интеграла или сделайте фото ещё раз с более чётким текстом (лучше без затемнения, по возможности крупнее).
• Я пройдусь по каждому пункту и дам пошаговое решение для каждого заданного интеграла, с пояснениями, чтобы было понятно, почему берём именно тот множитель и как применяем формулы.

Если хотите, можно начать с того, что вы перепишете здесь локально текст каждого пункта (например: “1a) ∫ (2x^2 − 3x) dx; 1b) ∫ (7x^3 + 4) dx; 2a) …” и т.д.). Я сразу дам детальные решения по каждому из них и комментарии к любым тривиальным ошибкам, которых стоит избегать.