Известно, что сумма 20 целых чисел n1 , n2 , … , n20 нечётна. Какие из следующих чисел заведомо чётные? n1−3n2+n3−3n4+…+n19−3n20 n1⋅n2⋅…⋅n20 n1⋅n2⋅…⋅n10+n11⋅n12⋅…⋅n20…

Дано: сумма n1 + n2 + ... + n20 нечётна. Это значит, что число нечётных среди n1, n2, ..., n20 нечётно (помножить все чётные дают 0 по модулю 2, а каждый нечётный даёт 1; сумма этих 1 почти всегда нечетна).

Проверяем каждое выражение по модулю 2.

1. n1 − 3n2 + n3 − 3n4 + … + n19 − 3n20

• В модуле 2 коэффициент −3 ≡ 1, поэтому выражение ≡ n1 + n2 + ... + n20 (mod 2).
• Это просто сумма всех n_i, которая по условию сама нечётна.
• Значит это значение не обязательночетное? Да, оно чётно только если сумма чётна; здесь же сумма нечётна, поэтому выражение заведомо Нечётное.
• Вывод: не является заведомо чётным.

2. n1 · n2 · … · n20

• Произведение чётно тогда, когда хотя бы один множитель чётный.
• Так как количество нечётных чисел среди 20 не может быть 20 (сумма была бы чётной), есть хотя бы одно чётное число. Значит произведение делится на 2.
• Вывод: заведомо чётное.

3. n1·n2·…·n10 + n11·n12·…·n20

• Обозначим A = n1·…·n10, B = n11·…·n20. По модулю 2 A ≡ 1, если первые 10 числа все нечётные; аналогично B ≡ 1, если последние 10 числа все нечётные.
• Невозможно, чтобы обе части были равны 1 одновременно, потому что это потребовало бы, чтобы все 20 чисел были нечётные, что противоречит тому, что число нечётных среди n1..n20 нечётно.
• Значит возможны варианты: A ≡ 1, B ≡ 0 (или наоборот) или A ≡ 0, B ≡ 0.
  • В первом случае сумма ≡ 1 (нечётная).
  • Во втором случае сумма ≡ 0 (чётная).
• Следовательно, выражение не заведомо чётное (есть конфигурации, делающие его нечётным и конфигурации, делающие чётким).
• Пример, делающий его нечётным: пусть n1..n10 все нечётные (A ≡ 1), а в n11..n20 ровно одна нечётная и девять чётных — тогда B ≡ 0, сумма ≡ 1.

4. 2n1 + n2 + 2n3 + n4 + … + 2n19 + n20

• Модуль 2: 2n_i ≡ 0, поэтому выражение ≡ n2 + n4 + … + n20 (сумма чётных номеров).
• Обозначим E = сумма чётных n_i по модулю 2, O = сумма нечётных по модулю 2. Тогда E + O ≡ 1 (модуль 2).
• Поскольку O может быть как 0, так и 1 по модулю 2 в зависимости от распределения нечётных по нечетным индексам, E может быть и 0, и 1. Примеры:
  • Пусть все числа с чётными индексами чётные, а есть ровно один нечётный на нечетных индексах. Тогда E ≡ 0.
  • Пусть ровно один нечётный на чётном индексе и другие числа чётные; тогда E ≡ 1.
• Значит выражение не заведомо чётное.

Итог:

• Заведомо чётное только выражение 2: n1 · n2 · ... · n20.
• Остальные выражения не гарантируют чётность при условии, что сумма n1 + ... + n20 нечётна.