5. Стороны параллелограмма равны 5 см и 8 см, а угол между ними равен 150°. Найдите большую диагональ параллелограмма б В треугольнике АВС ZЛ=30 2C= 459, ВС=2V2. Найдите сторону АВ. (Сначала найдите угол В, затем используйте теорему синусов,а потом - косинусов для проверки) 7. Две стороны треугольника равны 4 и 7, а угол между ними равен 60° Найдите третью сторону и площадь треугольника 8. Диагонали параллелограмма равны 12 и 14, а угол между ними равен 30°. Найдите стороны параллелограмма

Ниже подробные решения задач 5–8 с пошаговыми объяснениями. 5) Стороны параллелограмма равны 5 см и 8 см, угол между ними 150°. Найдите большую диагональ параллелограмма. - Пусть a = 5, b = 8, θ = 150°. Диагонали равны: d1^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos θ d2^2 = a^2 + b^2 + 2ab cos θ - cos 150° = -√3/2. Вычислим: 2ab cos θ = 2·5·8·(-√3/2) = -40√3. a^2 + b^2 = 25 + 64 = 89. - Тогда: d1^2 = 89 - (-40√3) = 89 + 40√3 d2^2 = 89 + (-40√3) = 89 - 40√3 - Большая диагональ: d_max = sqrt(89 + 40√3) ≈ sqrt(158.28) ≈ 12.6 см. Ответ: большая диагональ ≈ 12.6 см (точно: sqrt(89 + 40√3)). 6) В треугольнике ABC ∠A = 30°, ∠C = 45°, BC = a = 2√2. Найдите AB (сторона c). (Сначала найдите угол B, затем используйте теорему синусов, а потом — косинусов для проверки.) - Найдём угол B: B = 180° − (A + C) = 180° − (30° + 45°) = 105°. - По направлению к сторонам: a = BC против угла A, c = AB против угла C. - По закону синусов: c / sin C = a / sin A → c = a · sin C / sin A. sin C = sin 45° = √2/2, sin A = sin 30° = 1/2. c = (2√2) · (√2/2) / (1/2) = 4. Значит AB = 4 см. - Дополнительно найдём оставшуюся сторону b (для проверки): b / sin B = a / sin A → b = a · sin B / sin A. sin B = sin 105° = sin(60° + 45°) = sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45° = (√3/2)(√2/2) + (1/2)(√2/2) = (√6 + √2)/4. b = 2√2 · [(√6 + √2)/4] / (1/2) = √2(√6 + √2) = 2√3 + 2. b ≈ 5.464. - Проверка косинусной формулой на стороне a: a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos A. b^2 = (2√3 + 2)^2 = 16 + 8√3, c^2 = 16, cos A = cos 30° = √3/2. 2bc cos A = 2·(2√3 + 2)·4·(√3/2) = 24 + 8√3. RHS = (16 + 8√3) + 16 − (24 + 8√3) = 8 = a^2. Соответствует, проверка пройдена. Ответ: AB = 4 см. 7) Две стороны треугольника равны 4 и 7, угол между ними 60°. Найдите третью сторону и площадь треугольника. - Обозначим стороны: a = 4, b = 7, между ними угол γ = 60°. Третий бок c. - По теореме косинусов: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos γ = 4^2 + 7^2 − 2·4·7·cos 60° = 16 + 49 − 56·(1/2) = 65 − 28 = 37. c = sqrt(37) ≈ 6.083. - Площадь треугольника с двумя известными сторонами и между ними углом: S = (1/2) ab sin γ = (1/2)·4·7·sin 60° = 14 · (√3/2) = 7√3 ≈ 12.124. Ответ: третья сторона sqrt(37) ≈ 6.083, площадь ≈ 12.12. 8) Диагонали параллелограмма равны 12 и 14, а угол между ними равен 30°. Найдите стороны параллелограмма. - Пусть стороны параллелограмма длины a и b, угол между ними φ. Диагонали равны: p = |u + v| и q = |u − v|, где |u| = a, |v| = b, угол между u и v равен φ. Тогда: p^2 = a^2 + b^2 + 2ab cos φ q^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos φ - По данным: p^2 = 12^2 = 144, q^2 = 14^2 = 196. Следовательно: a^2 + b^2 = (p^2 + q^2)/2 = (144 + 196)/2 = 170. 2ab cos φ = p^2 − q^2 = 144 − 196 = −52, значит ab cos φ = −26. - Угол между диагоналами θ = 30°. Связь между сторонами и уголом между диагоналями: a^2 − b^2 = pq cos θ = (12)(14) cos 30° = 168 · (√3/2) = 84√3. - Решим систему для a^2 и b^2: a^2 + b^2 = 170 a^2 − b^2 = 84√3 => a^2 = (170 + 84√3)/2 = 85 + 42√3 b^2 = (170 − 84√3)/2 = 85 − 42√3 - Таким образом: a = sqrt(85 + 42√3) ≈ 12.58 b = sqrt(85 − 42√3) ≈ 3.50 Ответ: стороны параллелограмма примерно 12.58 см и 3.50 см (точно: a^2 = 85 + 42√3, b^2 = 85 − 42√3).