Точки Р. Q и R принадлежат одной прямой. Известно отношение длин двух отрезков: PR : QR = 5 : 3. Какие значения может принимать длина отрезка PR, если длина отрезка PQ равна 8? 5…

Задача про три точки на одной прямой: PR : QR = 5 : 3, PQ = 8. Найти возможные значения длины PR.

1. Обозначим:

• x = QR
• y = PR

Из условия отношения: y : x = 5 : 3, поэтому y = (5/3) x, или x = (3/5) y.

2. Ситуации размещения Q по отношению к отрезку PR

• Случай 1. Q лежит между P и R. Тогда PR = PQ + QR, то есть y = 8 + x. Подставим x = (3/5) y: y = 8 + (3/5) y. Решение: (2/5) y = 8 ⇒ y = 20. Значит, PR = 20, QR = x = (3/5)·20 = 12. Эту конфигурацию мы уже учли и она удовлетворяет условию.

• Случай 2. Q лежит за пределами отрезка PR (ه.g. слева от P или справа от R). Положим P = 0, R = y > 0. PQ = 8 значит Q координата либо +8, либо −8.

a) Q = +8: QR = |8 − y|. Уравнение y = (5/3)·|8 − y|.

• Если y ≤ 8: y = (5/3)(8 − y) → y = 5.
• Если y ≥ 8: y = (5/3)(y − 8) → y = 20. Получаем PR = 5 или PR = 20 (20 уже найден ранее).

b) Q = −8: QR = |−8 − y| = y + 8. Уравнение y = (5/3)(y + 8) даёт отрицательное значение y, значит решений нет.

Итак, возможные значения PR: 5 и 20.

Ответ: PR может быть равен 5 или 20.