На плоскости отметили несколько точек так, что никакие три из них не принадлежат одной прямой. Чтобы попарно соединить все эти точки понадобилось 10 отрезков. Из этих отрезков ровно 4 не имеют общих точек с прямой р, не проходящей ни через одну из отмеченных точек. Найдите наименьшее количество отмеченных точек, принадлежащих одной из полуплоскостей с границей р.

Решение по шагам 1) Определим количество отмеченных точек. - Если попарно соединить все точки сегментами, число сегментов равно C(n, 2) = n(n-1)/2. - По условию это число равно 10. Решая n(n-1)/2 = 10, получаем n(n-1) = 20. - Корень уравнения n^2 - n - 20 = 0: n = (1 + 9)/2 = 5. Вывод: на плоскости ровно 5 отмеченных точек (ни одна прямая не содержит две и более точек). 2) Обозначим линию r, которая не проходит через точки, и количество точек по одну сторону от r — k (на другой стороне будет 5 − k). 3) Число отрезков, не пересекающих r. - Отрезок не пересечёт r тогда, когда обе точки на нём лежат по одну сторону r. - Их количество равно C(k, 2) + C(5 − k, 2). По условию ровно 4 отрезка не имеют общих точек с r, значит C(k, 2) + C(5 − k, 2) = 4. 4) Решим уравнение. C(k, 2) = k(k − 1)/2, C(5 − k, 2) = (5 − k)(4 − k)/2. Сумма даёт k^2 − 5k + 6 = 0, то есть (k − 2)(k − 3) = 0. Следовательно, k = 2 или k = 3. 5) Хотим найти наименьшее возможное количество отмеченных точек в одной из полуплоскостей, т.е. min(k, 5 − k). - Для k = 2: min(2, 3) = 2. - Для k = 3: min(3, 2) = 2. Итак, минимально возможное число точек в одной из полуплоскостей равно 2. Дополнительно: такие размещения реально существуют (например, две точки с одной стороны r и три — с другой; при этом никаких трёх точек не должно быть коллинеарно и число пересечённых r сегментов действительно равно 6, а невырезанных — 4). Ответ: 2.