На плоскости отметили несколько точек так, что никакие три из них не принадлежат одной прямой. Чтобы попарно соединить все эти точки понадобилось 10 отрезков. Из этих отрезков…
На плоскости отметили несколько точек так, что никакие три из них не принадлежат одной прямой. Чтобы попарно соединить все эти точки понадобилось 10 отрезков. Из этих отрезков ровно 4 не имеют общих точек с прямой р, не проходящей ни через одну из отмеченных точек. Найдите наименьшее количество отмеченных точек, принадлежащих одной из полуплоскостей с границей р.
Решение по шагам
- Определим количество отмеченных точек.
- Если попарно соединить все точки сегментами, число сегментов равно C(n, 2) = n(n-1)/2.
- По условию это число равно 10. Решая n(n-1)/2 = 10, получаем n(n-1) = 20.
- Корень уравнения n^2 - n - 20 = 0: n = (1 + 9)/2 = 5. Вывод: на плоскости ровно 5 отмеченных точек (ни одна прямая не содержит две и более точек).
Обозначим линию r, которая не проходит через точки, и количество точек по одну сторону от r — k (на другой стороне будет 5 − k).
Число отрезков, не пересекающих r.
- Отрезок не пересечёт r тогда, когда обе точки на нём лежат по одну сторону r.
- Их количество равно C(k, 2) + C(5 − k, 2).
По условию ровно 4 отрезка не имеют общих точек с r, значит C(k, 2) + C(5 − k, 2) = 4.
Решим уравнение. C(k, 2) = k(k − 1)/2, C(5 − k, 2) = (5 − k)(4 − k)/2. Сумма даёт k^2 − 5k + 6 = 0, то есть (k − 2)(k − 3) = 0. Следовательно, k = 2 или k = 3.
Хотим найти наименьшее возможное количество отмеченных точек в одной из полуплоскостей, т.е. min(k, 5 − k).
- Для k = 2: min(2, 3) = 2.
- Для k = 3: min(3, 2) = 2.
Итак, минимально возможное число точек в одной из полуплоскостей равно 2.
Дополнительно: такие размещения реально существуют (например, две точки с одной стороны r и три — с другой; при этом никаких трёх точек не должно быть коллинеарно и число пересечённых r сегментов действительно равно 6, а невырезанных — 4). Ответ: 2.
