Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если высота, проведённая к ней,равна 1 см, а один из углов треугольника равен 15°. Сделай чертёж и реши задачу.

Задача: Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если высота, проведённая к ней, равна 1 см, а один из углов треугольника равен 15°. Сделай чертёж и реши задачу. Решение (пошагово, для 8 класса, цель: Понять) 1) Обозначения и установка условий - Пусть треугольник ABC с прямым углом в C. Гипотенуза — AB, её длина обозначим c. - Угол при A равен α = 15°, следовательно, угол при B равен β = 75°. - Высота h, проведённая из вершины C к гипотенузе AB, равна 1 см. Точка пересечения высоты с AB обозначим D, и CD = h = 1. 2) Связь высоты с длинами сторон В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе равна h = (a · b) / c, где a и b — длины катетов (BC и AC соответственно), c — гипотенуза AB. Также: a = c · sin A, b = c · sin B, поскольку sin A = противоположный гипотенузе катет a / c и sin B = противоположный гипотенузе катет b / c. Подставим эти выражения в формулу для h: h = (c sin A · c sin B) / c = c · sin A · sin B. 3) Вычисление sin A · sin B A = 15°, B = 75° = 90° − 15°. sin B = sin 75° = cos 15°. Тогда sin A · sin B = sin 15° · cos 15° = (1/2) · sin(2·15°) = (1/2) · sin 30° = (1/2) · (1/2) = 1/4. 4) Найдём гипотенузу Из h = c · sin A · sin B получаем: 1 = c · (1/4) => c = 4. Ответ: гипотенуза AB равна 4 см. Дополнительно (проверка и длины катетов) - Можно найти катеты: a = c · sin 15° = 4 · sin 15° = 4 · (√6 − √2)/4 = √6 − √2, b = c · sin 75° = 4 · sin 75° = 4 · cos 15° = √6 + √2. - Проверка высоты: h = (a · b) / c = [(√6 − √2)(√6 + √2)] / 4 = (6 − 2)/4 = 4/4 = 1, что согласуется с условием. Чертёж (упрощённый ASCII-рисунок) Примечание: здесь изображено схематически, как может выглядеть рисунок на листе. Отметь высоту CD, равную 1 см, и угол A равный 15°. A---------D---------B (AB – гипотенуза, AD и DB лежат на гипотенузе) \ | / \ | / \ | / \ | / \ | / \ | / \ | / C (правый угол) | h = 1 см (CD) Ключевые точки: - C — вершина прямого угла. - AB — гипотенуза. - CD — высота к гипотенузе, CD = 1 см, перпендикулярна AB. - А = 15°, B = 75°. Итоговый ответ: гипотенуза треугольника равна 4 см.