Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если высота, проведённая к ней,равна 1 см, а один из углов треугольника равен 15°. Сделай чертёж и реши задачу.

Задача: Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если высота, проведённая к ней, равна 1 см, а один из углов треугольника равен 15°. Сделай чертёж и реши задачу.

Решение (пошагово, для 8 класса, цель: Понять)

1. Обозначения и установка условий

• Пусть треугольник ABC с прямым углом в C. Гипотенуза — AB, её длина обозначим c.
• Угол при A равен α = 15°, следовательно, угол при B равен β = 75°.
• Высота h, проведённая из вершины C к гипотенузе AB, равна 1 см. Точка пересечения высоты с AB обозначим D, и CD = h = 1.

2. Связь высоты с длинами сторон В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе равна h = (a · b) / c, где a и b — длины катетов (BC и AC соответственно), c — гипотенуза AB.

Также: a = c · sin A, b = c · sin B, поскольку sin A = противоположный гипотенузе катет a / c и sin B = противоположный гипотенузе катет b / c.

Подставим эти выражения в формулу для h: h = (c sin A · c sin B) / c = c · sin A · sin B.

3. Вычисление sin A · sin B A = 15°, B = 75° = 90° − 15°. sin B = sin 75° = cos 15°.

Тогда sin A · sin B = sin 15° · cos 15° = (1/2) · sin(2·15°) = (1/2) · sin 30° = (1/2) · (1/2) = 1/4.

4. Найдём гипотенузу Из h = c · sin A · sin B получаем: 1 = c · (1/4) => c = 4.

Ответ: гипотенуза AB равна 4 см.

Дополнительно (проверка и длины катетов)

• Можно найти катеты: a = c · sin 15° = 4 · sin 15° = 4 · (√6 − √2)/4 = √6 − √2, b = c · sin 75° = 4 · sin 75° = 4 · cos 15° = √6 + √2.
• Проверка высоты: h = (a · b) / c = [(√6 − √2)(√6 + √2)] / 4 = (6 − 2)/4 = 4/4 = 1, что согласуется с условием.

Чертёж (упрощённый ASCII-рисунок) Примечание: здесь изображено схематически, как может выглядеть рисунок на листе. Отметь высоту CD, равную 1 см, и угол A равный 15°.

  A---------D---------B   (AB – гипотенуза, AD и DB лежат на гипотенузе)
   \        |        /
    \       |       /
     \      |      /
      \     |     /
       \    |    /
        \   |   /
         \  |  /
          C (правый угол)
          |
         h = 1 см (CD)

Ключевые точки:

• C — вершина прямого угла.
• AB — гипотенуза.
• CD — высота к гипотенузе, CD = 1 см, перпендикулярна AB.
• А = 15°, B = 75°.

Итоговый ответ: гипотенуза треугольника равна 4 см.