"В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 24. Найдите площадь четырехугольника ABMN."

Классно, давай разберём по полочкам и сравним с правильным ответом.

Что дано и что значит

• M — середина BC, N — середина AC. Значит MN — средняя линия треугольника ABC и MN ∥ AB.
• CNM — треугольник, образованный точками C, N (на AC) и M (на BC). У него дана площадь S(CNM) = 24.
• Нужно найти площадь многоугольника ABMN (A–B–M–N).

Ключевые идеи

• Так как N — середина AC, CN = CA/2. Так как M — середина BC, CM = CB/2. А MN — середняя линия, поэтому MN = AB/2.
• Треугольники CNM и CAB подобны: corresponding стороны CN ↔ CA, CM ↔ CB, NM ↔ AB, причём каждый отрезок в CNM в два раза короче соответствующего в CAB. Значит коэффициент подобия k = 2 (CAB больше CNM в 2 раза по линейным размерам), или наоборот CNM к CAB — 1/2 по линейным размерам.
• Следствие по площадям: S(CNM) = (1/2)^2 S(CAB) = 1/4 S(CAB). Значит S(CAB) = 4 · S(CNM) = 4 · 24 = 96.

Площадь ABMN

• Треугольник ABC разделён линией MN на две части: сверху маленький треугольник CNM и снизу трапецию ABMN. Поэтому S(ABMN) = S(ABC) − S(NMC) = 96 − 24 = 72.
• Альтернатива: ABMN — трапеция с основаниями AB и MN; MN = AB/2, и её площадь равна 3/4 площади ABC, что даёт 3/4 · 96 = 72.

Ваш ответ и где ошибка

• Вы написали 12. Это ошибка, потому что CNM занимает 1/4 площади ABC, а ABMN занимает оставшиеся 3/4. Значит ABMN = 3 · S(CNM) = 3 · 24 = 72, а не 12.

Итог

• Правильный ответ: 72.
• Как правильно решать: использовать отношение CNM к CAB через подобие или через то, что MN — средняя линия, и затем взять разницу площадей.

Понял? Оцени мой ответ лайком или дизлайком.