пусть в краткосрочном периоде производная функция зависит только от численности персонала и имеет вид Q=5400L-5L^3.Q-выпуск продукции,L-количество рабочих.Какой должна быть…
Пусть в краткосрочном периоде производная функция зависит только от численности персонала и имеет вид Q=5400L-5L^3.Q-выпуск продукции,L-количество рабочих.Какой должна быть численость персонала,чтобы достичь наибольшего выпуска продукции ?
Задача: Q(L) = 5400L − 5L^3, где L — количество рабочих. Найти L, при котором достигается наибольший выпуск продукции.
Пошаговое решение:
Дифференцируем функцию по L: Q'(L) = dQ/dL = 5400 − 15L^2.
Найдем критические точки, при которых производная равна нулю: 5400 − 15L^2 = 0 ⇒ 15L^2 = 5400 ⇒ L^2 = 360 ⇒ L = ±√360 = ±(6√10).
Поскольку численность рабочей силы не может быть отрицательной, берем L* = √360 = 6√10 ≈ 18.97.
Проверим второй производной, чтобы убедиться, что это максимум: Q''(L) = d^2Q/dL^2 = −30L. В точке L* > 0 имеет значение Q''(L*) = −30·(6√10) < 0, следовательно, это максимум.
Точное значение максимального выпуска: Заметим, что (L*)^2 = 360, поэтому (L*)^3 = L*(L*)^2 = 360L*. Тогда Q(L*) = 5400L* − 5(L*)^3 = 5400L* − 5·360L* = (5400 − 1800)L* = 3600L*. Так как L* = √360, получаем Qmax = 3600√360 = 21600√10 ≈ 68 305.
С учетом того, что численность рабочих обычно целая, ближе всего к максимуму будет L = 19: Q(19) = 5400·19 − 5·19^3 = 102{,}600 − 34{,}295 = 68{,}305. Для сравнения Q(18) = 5400·18 − 5·18^3 = 97{,}200 − 29{,}160 = 68{,}040. Таким образом, максимум на целые L достигается при L ≈ 19 рабочий.
Ответ:
- Точное (не целочисленное) оптимальное число рабочих: L* = √360 = 6√10 ≈ 18.97.
- Максимальный выпуск: Qmax = 21600√10 ≈ 68 305 единиц.
- При целочисленном L: приблизительно L = 19 рабочих, при этом Q ≈ 68{,}305.
