Диагональ прямоугольника образует с одной из его сторов угод 15°. Найдите угод между диагоналями. Ответ дайте в градусах.

Решение: 1) Обозначим стороны прямоугольника как a (горизонтальная) и b (вертикальная). Диагональ d1 образует угол θ = 15° с нижней стороной, значит tan θ = b/a. Также b/a = tan 15°. 2) Вторая диагональ имеет угол с той же горизонтальной осью, но наклон −b/a (она идёт в противоположную сторону). Пусть φ — угол между диагоналями. 3) Найдём угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами m1 = b/a и m2 = −b/a. Формула для угла между двумя прямыми: tan φ = |(m2 − m1) / (1 + m1 m2)|. Подставим: m2 − m1 = −b/a − b/a = −2b/a, 1 + m1 m2 = 1 + (b/a)(−b/a) = 1 − (b/a)². Следовательно, tan φ = (2b/a) / (1 − (b/a)²). 4) Обозначим t = b/a = tan θ. Тогда tan φ = (2t) / (1 − t²). Но по тождеству тангенсов это ровно tan(2θ). То есть tan φ = tan(2θ). 5) Поскольку θ = 15°, то φ = 2θ = 30° (и угол между диагоналями является острым). Ответ: 30°