Плоскости с и в пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости а и пересекает плоскость В. Каково взаимное распо-ложение прямых а и с? Ответ объясните.

Решение шаг за шагом.

• Пусть α и β — плоскости, которые пересекаются по прямой c. Значит c = α ∩ β.
• Прямая a лежит в плоскости α: a ⊆ α.
• Прямая a пересекает плоскость β: существует точка P ∈ a ∩ β.

Так как a ⊆ α, то P ∈ α и P ∈ β. Следовательно P ∈ α ∩ β = c. То есть точка P принадлежит и прямой a, и прямой c. Значит a и c имеют общую точку и следовательно пересекаются. Поскольку обе прямые лежат в одной плоскости α, они не могут быть параллельны (они уже имеют общую точку).

Итого: прямые а и с пересекаются в одной точке (за исключением дегenerate-случая, когда a coincide с c, т.е. coincide — а и с полностью совпадают). Но в обычном случае ответ: а и с пересекаются. Их точка пересечения — P = a ∩ β = a ∩ c.