5. Изобразите множество точек, заданных системой неравенста. (х+у≤9, (x+y>2

Задача: изобразить множество точек, удовлетворяющее системе неравенств x + y ≤ 9 и x + y > 2.

Что нужно сделать по шагам

1. Построим грани системы

• Линия L1: x + y = 9. Эта граница включена в множество (≤). Эта прямая проходит через точки (9,0) и (0,9).
• Линия L2: x + y = 2. Эта граница не включается (>): точка на ней не принадлежит. Эта прямая проходит через точки (2,0) и (0,2).

2. Определим стороны по каждой неравенству

• Для x + y ≤ 9 выбираем ту сторону от линии L1, которая содержит точку, например, (0,0) (так как 0 ≤ 9). Это область «ниже» и на линии L1 по диагонали.
• Для x + y > 2 выбираем ту сторону от линии L2, которая не содержит точку (0,0); то есть область «выше» линии L2.

3. Объединение областей Пересечение указанных областей даст множество точек между двумя параллельными диагональными линиями L1 и L2:

• верхняя граница включена: x + y = 9 удовлетворяет ≤ 9.
• нижняя граница исключена: x + y = 2 не удовлетворяет > 2.

Итак, множество точек — это диагональная лента между двумя параллельными линиями x + y = 2 и x + y = 9, где нижняя граница (x + y = 2) не включена, а верхняя граница (x + y = 9) включена.

4. Как это увидеть на рисунке

• Нарисуйте две прямые с углом наклона -1:
  • L2 через (2,0) и (0,2)
  • L1 через (9,0) и (0,9)
• Заштрихуйте область между ними, но так, чтобы нижняя граница не была включена, а верхняя — включена.
• Пример: точка (0,3) лежит между линиями (0+3=3, 3 ≤ 9), значит она внутри. Точка (2,0) лежит на нижней границе и не входит в множество.

5. Примеры точек

• Внутри: (0,3), (3,0), (4,4) (так как 2 < 4+4 = 8 ≤ 9), (7,2) (сумма 9).
• На нижней границе: (2,0) не входит.
• За верхней границей: (10,0) не входит (сумма 10 > 9).
• Любая точка с суммой x + y, например, равной 5 или 8, и с любым распределением x и y, удовлетворяющим этой сумме, принадлежит, пока сумма лежит в (2, 9].

6. Альтернативное описание Множество можно задать компактно как { (x, y) ∈ R^2 | 2 < x + y ≤ 9 }. Для фиксированного x допустимая y-граница задаётся так: 2 − x < y ≤ 9 − x. Это показывает, что по каждому фиксированному x допустим отрезок по y, и объединение таких отрезков по всем x образует искомую ленту.

Итог Изобразить можно как диагональную ленту между двумя параллельными линиями x + y = 2 и x + y = 9, верхняя граница включена, нижняя — исключена. Множество равно { (x, y) | 2 < x + y ≤ 9 }.