найдите окружности вписаной в равносторонний треугольник со стороной 12 см

Задача: найти вписанную окружность в равносторонний треугольник со стороной 12 см.

Пояснение и решение пошагово

1. Обозначим сторону треугольника a = 12 см.

2. Найдём высоту треугольника.

• В равностороннем треугольнике высота h = (√3/2)·a.
• Здесь h = (√3/2)·12 = 6√3 см.

3. Найдём площадь треугольника.

• A = (1/2)·a·h = (1/2)·12·6√3 = 36√3 см².

4. Найдём полупериметр.

• Периметр P = 3a = 36 см, значит полупериметр s = P/2 = 18 см.

5. Радиус вписанной окружности (радиус инклинно́й окружности).

• Формула: r = A / s.
• Здесь r = (36√3) / 18 = 2√3 см.

6. Центр и положение окружности.

• В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с центроидом/инцентрe, и расстояние от основания до центра равно r.
• От основания до центра = h/3 = (6√3)/3 = 2√3 см.
• Можно задать координаты треугольника: взять основание на оси x от (0,0) до (12,0), вершина над ним в точке (6, 6√3). Тогда центр окружности будет в точке (6, 2√3).

7. Уравнение вписанной окружности.

• Радиус r = 2√3, центр O = (6, 2√3).
• Уравнение круга: (x − 6)² + (y − 2√3)² = (2√3)² = 12.

8. Дополнительно (опционально):

• Длина окружности: C = 2πr = 2π(2√3) = 4π√3 ≈ 21.76 см.
• Площадь круга: S = πr² = π·12 = 12π ≈ 37.70 см².

Ответ (основные данные):

• Радиус вписанной окружности r = 2√3 см ≈ 3.464 см.
• Центр окружности находится на высоте 2√3 см от основания треугольника; в приведённых координатах центр — (6, 2√3).
• Уравнение окружности: (x − 6)² + (y − 2√3)² = 12.